Exemple : calculer une probabilité totale avec un arbre

On considère la situation aléatoire représentée par l'arbre de probabilités ci-dessous.
Les événements \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\) forment une partition de l'univers.
On souhaite calculer la probabilité de l'événement \(\text{M}\).
Dans l'arbre de probabilités qui schématise la situation, on identifie trois chemins menant à la réalisation de l'événement \(\text{M}\).

D'après la formule des probabilités totales, on a : 
\(P(\text{M}) = P(\text{A}\cap \text{M})+P(\text{B}\cap \text{M})+P(\text{C}\cap \text{M})\)
\(P(\text{M})=P(\text{A}) \times P_\text{A}(\text{M}) + P(\text{B}) \times P_\text{B}(\text{M}) + P(\text{C}) \times P_\text{C}(\text{M})\)

Les probabilités inscrites sur l'arbre permettent de calculer les trois probabilités :

• \(P(\text{A}\cap \text{M})=P(\text{A}) \times P_\text{A}(\text{M}) = 0{,}33 \times 0{,}388 = 0{,}12804\)
  
• \(P(\text{B}\cap \text{M})=P(\text{B}) \times P_\text{B}(\text{M}) = 0{,}35 \times 0{,}245 = 0{,}08575\)
  
• \(P(\text{C}\cap \text{M})=P(\text{C}) \times P_\text{C}(\text{M}) = 0{,}32 \times 0{,}231 = 0{,}07392\)
  

On additionne les probabilités ainsi calculées les chemins qui mènent à \(\text{M}\) : \(P(\text{M}) = 0{,}12804 + 0{,}08575 + 0{,}07392 = 0{,}28771\)

La probabilité de l'événement \(\text{M}\) est égale à \(0{,}28771\).