Sens de variation de la fonction inverse

Propriété

La fonction inverse est une fonction strictement décroissante sur chacun des intervalles \(]-\infty~; 0[\) et \(]0~;+\infty[\) .

Son tableau de variations est donné ci-dessous.

Démonstration 

• Sur l'intervalle \(]0 ; +\infty[\) 
  

Soit \(u\) et \(v\) deux réels strictement positifs, tels que \(u > v\). Alors : \(f(u) - f(v) = \dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{v} = \dfrac{v-u}{uv}\).
Or \(uv>0\), puisque \(u\) et \(v\) sont deux réels strictement positifs, et \(v~ – u <0\), puisque \(u > v\). 
On a \(\dfrac{v-u}{uv}<0\) , d'où \(f(u) ~– f(v) < 0\), c'est-à-dire \(f(u) < f(v)\).
On conclut que si \(u > v > 0\), alors \(f(u) < f(v)\).
La fonction inverse est strictement décroissante sur \(] 0~ ; +∞ [\).

• Sur l'intervalle \(]-\infty;0[\) 
  

Soit \(u\) et \(v\) deux réels strictement négatifs, tels que \(u > v\). Alors : \(f(u) - f(v) = \dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{v} = \dfrac{v-u}{uv}\).
Or \(uv>0\), puisque \(u\) et \(v\) sont deux réels strictement négatifs, et \(v~ – u <0\), puisque \(u > v\) . 
On a \(\dfrac{v-u}{uv}<0\) , d'où \(f(u) ~– f(v) < 0\), c'est-à-dire \(f(u) < f(v)\).
On conclut que si \(v< u< 0\), alors \(f(u) < f(v)\).
La fonction inverse est strictement décroissante sur \(]-\infty;0[\) .