Primitives de fonctions composées

Propriété

Soit `f` une fonction définie sur un intervalle \(J\) de \(\mathbb{R}\) et soit \(F\) une primitive de \(f\).
Soit \(u\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et à valeurs dans l'intervalle \(J\).
La fonction \(u'\times (f\circ u)\) est définie sur \(I\) et admet comme primitive la fonction \(F\circ u\).
Autrement dit, pour tout \(x\) dans \(I\), \(\boxed{F'(u(x))=u'(x)\times f(u(x))}\).

Démonstration

On considère la fonction \(F \circ u\), définie et dérivable sur \(I\) en tant que composée de deux fonctions dérivables. Alors sa dérivée est \((F \circ u)' = u' \times (F' \circ u ) = u' \times (f \circ u )\).
Donc \(F\circ u\) est bien une primitive de \(u'\times (f\circ u)\).

Exemples

1. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb R\) par \(g(x)=2\text{e}^{2x}\). On reconnaît que \(g(x)\) est de la forme \(u'(x)f(u(x))\) avec \(u\) la fonction définie et dérivable sur \(\mathbb R\) telle que, pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\), \(u(x) = 2 x\) (ce qui entraîne \(u'(x) = 2\)) et \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x) = \text{e}^x\), de primitive \(F(x) = \text{e}^x\). Alors une primitive de \(g\) est la fonction \(G\) définie sur \(\mathbb R\) par \(G(x) = F(u(x))= \text{e}^{2x}\).

2. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb R\) par \(g(x)= -6\text{cos}(6x+1)\). On reconnaît que \(g(x)\) est de la forme \(u'(x)f(u(x))\) avec \(u\) la fonction définie et dérivable sur \(\mathbb R\) telle que, pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\), \(u(x) = 6x +1\), (ce qui entraîne \(u'(x) = 6\)) et \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x) = -\text{cos}(x)\), de primitive \(F(x) = -\text{sin}(x)\). Alors une primitive de \(g\) est la fonction \(G\) définie sur \(\mathbb R\) par \(G(x) = F(u(x))= -\text{sin}(6x+1)\).