Composition de fonctions

Vocabulaire

Soit `f` une fonction définie sur un intervalle \(I\) de `\mathbb R`. Soit \(J\) un intervalle de `\mathbb R`.
Dire que `f` est à valeurs dans \(J\) signifie que \(J\) contient toutes les images des réels de \(I\) par la fonction `f`. Autrement dit `\forall x \in I, f(x) \in J`.

Définition

On considère une fonction \(v\) définie sur un intervalle \(J\) de \(\mathbb{R}\) et une fonction \(u\) définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et à valeurs dans l'intervalle \(J\). On appelle composée de \(v\) et de \(u\), et on note \(v \circ u\) la fonction définie sur \(I\) par \((v \circ u) (x) = v(u(x))\).

Remarque

L'opération de composition n'est pas commutative. En général, la fonction \(v \circ u\) n'est pas égale à la fonction \(u \circ v\).

Exemples

Dans les exemples suivants les fonctions `u` et `v` sont définies sur `\mathbb R`.
En référence à la définition, on a donc \(I=J=\mathbb R\).
1. Si \(u\) est la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(u(x) = 2x+1\) et \(v\) est la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(v(x) = x^2\), alors, pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\), \((v \circ u )(x) = v(u(x))= v(2x +1) = (2x +1)^2\) mais, pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\), \((u \circ v)(x) = u(v(x) )= u(x^2) = 2(x^2)+1 = 2x^2+1\).
2. Si \(u\) est la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(u(x) = 4-3x\) et \(v\) est la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(v(x) = \text{cos}(x)\), alors, pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\), \((v \circ u )(x) = v(u(x))= v(4-3x) = \text{cos}(4-3x)\)mais, pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\), \((u \circ v)(x) = u(v(x)) = u(\text{cos}(x)) = 4 - 3\text{cos}(x)\).
3. Si \(u\) est la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(u(x) = x^3\) et \(v\) est la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(v(x) = \text{e}^x\), alors, pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\), \((v \circ u )(x) = v(u(x))= v(x^3) = \text{e}^{x^3}\) mais, pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\), \((u \circ v)(x) = u(v(x)) = u(\text{e}^x) = (\text{e}^x)^3 = \text{e}^{3x}\).

Remarque

Le fait que `v` soit définie sur l'ensemble des valeurs prises par `u` est très important pour l'existence de la fonction composée : par exemple, si `v` est la fonction définie sur \(\mathbb{R^{+}}\)par \(v(x) = \sqrt x\) et `u` la fonction définie sur `\mathbb R` par \(u(x) = -x^2\), alors leur composée \((v \circ u)(x) = v(u(x)) = v(-x^2) = \sqrt {-x^2}\) n'est pas définie pour \(x\ne 0\). En effet, `u` est à valeur dans \(\mathbb{R^-}\) et \(v\) est définie sur \(\mathbb{R^{+}}\).