Opérations sur les ensembles

Définitions

Soit \(E\) un ensemble fini. Soit \(A\) et \(B\) deux sous-ensembles de \(E\) .

• La réunion des ensembles  \(A\) et \(B\) est l'ensemble de tous les éléments de \(E\) contenus dans \(A\) ou dans \(B\) , c’est-à-dire dans l'un au moins des ensembles  \(A\) et \(B\) .
  La réunion des ensembles \(A\) et \(B\) se note  \(A ∪ B\) et se lit «  \(A\) union \(B\)  ».
  Dans le schéma ci-dessous, l'ensemble \(A ∪ B\) correspond à la partie hachurée.
  

• L'intersection des ensembles  \(A\) et ​​ \(B\) est l'ensemble de tous les éléments de \(E\) contenus à la fois dans \(A\) et dans \(B\) .
  L'intersection des ensembles \(A\) et \(B\) se note  \(A ∩ B\)  et se lit «  \(A\) inter \(B\)  ».
  Dans le schéma ci-dessous, l'ensemble \(A ∩ B\) correspond à la partie hachurée.
  

• Le complémentaire de l'ensemble \(A\)  dans \(E\) est l’ensemble des éléments de \(E\) qui ne sont pas dans \(A\) .
  Cet ensemble se note :  \(E \setminus A\) , ou  \(\overline A\) et se lit : « \(A\) barre ». 
  Dans le schéma ci-dessous, l'ensemble correspond à la partie hachurée.
  

• Deux ensembles \(A\) et \(B\) sont disjoints lorsque \(A ∩ B = \emptyset\) .
  Dans le schéma ci-dessous, les ensembles \(A\) et \(B\) sont disjoints.
  

Exemple

Soit    \(I=\left[2\ ;\ 4\right]\)  et   \(J=\left[-1\ ;\ 3\right]\)  deux intervalles.

Alors :  \(I\cap J=\left[2\ ;\ 3\right]\) et  \(I\cup J=\left[-1\ ;\ 4\right]\) .

Notations

• On note \(\mathbb{R}^{*}=\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\}\) l'ensemble des nombres réels privé de \(0\) . Cet ensemble correspond à l'ensemble des nombres réels strictement négatifs ou strictement positifs, noté  \(\mathbb{R}^{*}=\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[\) .
  
• On note de la même façon  \(\mathbb{R}\setminus\left\{ a\right\}\)  l'ensemble des nombres réels privé du réel  `a` : 
  \(\mathbb{R}\setminus\left\{ a\right\}=\left]-\infty;a\right[\cup\left]a;+\infty\right[\) .