Ensemble, sous-ensemble et cardinal d'un ensemble

Vocabulaire

Un ensemble peut être intuitivement assimilé à une « collection d'objets » .
Les « objets » de cet ensemble sont appelés éléments.

Notations

• Soit \(E\) un ensemble.
  « Un élément \(e\) appartient à l'ensemble \(E\)   » se note : \(e ∈ E\) .
  « Un élément  \(e\) n'appartient pas à l'ensemble \(E\)   »  se note : \(e ∉ E\) .
• L'ensemble des entiers naturels \(\mathbb N\) se note :  \(\mathbb N = \{ 0; 1; 2; 3; …\}\) . 
  On a, par exemple,  \(13 ∈ \mathbb N\) , mais \(–2 ∉ \mathbb N\) .
  
• L'ensemble des entiers naturels non nuls se note : \(\mathbb N^* = \{1; 2; 3; …\}\) .
  
• Soit \(A\) l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à `5` . On peut noter cet ensemble : \(A = \{x ∈ \mathbb N^*\ |\ x ⩾ 5\}\) .
  
• L'ensemble des entiers relatifs \(Z\) se note :  \(Z = \{...; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; ...\}\) .
  On a, par exemple,  \(–13 ∈ \mathbb Z\) , mais \(\dfrac 34 ∉ \mathbb Z\) .
  
• L'ensemble des nombres rationnels \(\mathbb Q\) se note : \(\mathbb Q = \{\dfrac ab \ |\ a ∈ \mathbb Z\text{ et }b ∈ \mathbb N^*\}\) .
  On a, par exemple, \(\dfrac14 ∈ \mathbb Q\) , mais  \(\sqrt 2 ∉ \mathbb Q\) .
  
• L'ensemble des nombres réels se note \(\mathbb R\) .
  
• L'ensemble des lettres de l'alphabet français se note : \(A = \{a; b; c; d; …; x; y; z\}\) .
  On a, par exemple, \(k ∈ A,\) mais  \(ß ∉ A\) .
  

Exemple

On réalise une expérience aléatoire : on lance un dé à 6 faces et on s'intéresse à la face obtenue. L'univers  \(Ω\) de cette expérience aléatoire est :  \(Ω = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\) .
On a \(2 ∈ Ω\) , mais \(7 ∉ Ω\) .

Définition

Soit  \(E\) un ensemble.
On appelle sous-ensemble de l'ensemble  \(E\) une partie de cet ensemble.
Dire que \(A\) est un sous-ensemble de  l'ensemble   \(E\)   signifie que \(A\)   est inclus dans
\(E\) , c'est-à-dire que tout élément de \(A\) appartient aussi à   \(E\)  .

Notations

Soit   \(E\) un ensemble.

• « Un sous-ensemble  \(A\)  est inclus dans l'ensemble  \(E\)   »  se note : \(A ⊂ E\) .
• « Un sous-ensemble  \(A\)  n'est pas inclus dans l'ensemble  \(E\)  »  se note : \(A \not⊂ E\) .
  

Exemples

• L'ensemble des entiers relatifs, noté \(\mathbb Z\) , contient l'ensemble des entiers naturels.
  On a  \(\mathbb N ⊂  \mathbb Z\) . On a également la suite d'inclusions : \(\mathbb N ⊂\mathbb Z ⊂\mathbb D ⊂\mathbb Q ⊂\mathbb R\) . 
  
• L'ensemble des voyelles de l'alphabet français est : \(V=\{a; e; i; o; u; y\}\) . Cet ensemble est inclus dans l'alphabet français : \(V ⊂ A\) .
  
• Lorsqu'on lance un dé à 6 faces, on considère l'événement \(A\)  :  « Obtenir un nombre pair. » Alors  \(A = \{2; 4; 6\}\) est  un sous-ensemble de l'univers \(Ω\) . On écrit \(A ⊂ Ω\) .
  

Définition

L'ensemble vide ne contient aucun élément. Il se note : \(\emptyset\) . 

Vocabulaire

On appelle singleton un ensemble formé d'un seul élément et paire un ensemble formé de deux éléments.

Définition

Un ensemble \(E\)  est dit fini lorsque son nombre d’éléments est fini. On appelle ce nombre d'éléments le cardinal de l’ensemble \(E\) et on le note : \(\text{Card}(E)\) ou  \(|E|\) .

Exemples

• Soit \(A = \{1\}\) . \(A\) est l'ensemble formé de l'entier \(1\) . C'est un singleton. Son cardinal est : \(\text{Card} (A) = 1\) .
  
• Soit \(B\)  l'ensemble des diviseurs positifs de 5. \(B = \{1 ; 5\}\) . \(B\)   est une paire. Son cardinal est : \(\text{Card}(B) = 2\) .
  
• Soit \(C\) l'ensemble des solutions, dans \(\mathbb R\) , de l'équation \(x^2 =-1\) .  Alors \(C = \emptyset\) et \(\text{Card}(C) = 0\) .