Projeté orthogonal d'un point sur une droite du plan

Définition et propriété

Soit   $d$   une droite du plan et $\text{A}$ un point du plan.
1. Si $\text{A}\in d$ , alors le projeté orthogonal de $\text{A}$ sur $d$ est  $\text{A}$ lui-même.
2. Si $\text{A}\notin d$ , alors le projeté orthogonal de $\text{A}$ sur   $d$   est le point $\text{H}$ de   $d$   tel que $(\text{A}\text{H})\perp d$ .

Le projeté orthogonal   $\text{H}$   de $\text{A}$ sur   $d$   est le point de   $d$   qui réalise la distance minimale entre $\text{A}$ et l’ensemble des points de la droite   $d$ . Cette distance minimale est appelée distance entre $\text{A}$ et   $d$   .

Démonstration

Soit $\text{M}\in d$ et   $\text{H}$   le projeté orthogonal de $\text{A}$ sur   $d$ . Le triangle $\text{A}\text{H}\text{M}$ est rectangle en   $\text{H}$ .
Alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :  $\text{A}{\text{H}}^2+\text{H}{\text{M}}^2=\text{A}{\text{M}}^2$ .
Or  $\text{H}{\text{M}}^2⩾0$ , donc  $\text{A}{\text{H}}^2+\text{H}{\text{M}}^2⩾\text{A}{\text{H}}^2$ , soit  $\text{A}{\text{M}}^2⩾\text{A}{\text{H}}^2$ .

Remarque

Soit un triangle $\text{A}\text{B}\text{C}$ . Soit $\text{H}$ le pied de la hauteur du sommet $\text{A}$ sur le côté opposé $(\text{B}\text{C})$ .
Alors, le point $\text{H}$ est le projeté orthogonal de $\text{A}$ sur la droite $(\text{B}\text{C})$ .