Probabilité pour une loi binomiale

Propriété

Soit  `n`  un entier naturel et  `p \in [0,1]` .
On considère une variable aléatoire  `X`  suivant une loi binomiale de paramètres  `n`  et  `p` .
Alors, pour tout entier  `k` compris entre 0 et  `n` , on a :  \(\boxed{P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}}\) .

Démonstration

On considère le schéma de Bernoulli associé à la variable aléatoire  `X` . Soit  `k`  un entier naturel compris entre 0 et  `n` .

• Dans ce schéma de Bernoulli, il y a  \(\dbinom{n}{k}\)  chemins menant à exactement  `k`  succès.
• Chacune de ces issues comprend  `k`  succès (tous de probabilité  `p` ) et  `n-k`  échecs (tous de probabilité  `1-p` ). Les épreuves étant indépendantes, la probabilité d'une de ces issues vaut donc : `p^k(1-p)^{n-k}` .
  
• Finalement, la probabilité d'obtenir  `k`  succès vaut : \(\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\) .
  

Exemple

On lance 5 fois un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6.  On s'intéresse au nombre de fois où l'on obtient  le résultat 4 obtenus à l'issue de ces 5 lancers.

• Les lancers sont indépendants et identiques : il s'agit donc d'un schéma de Bernoulli à 5 épreuves.
• Pour chaque épreuve, la probabilité de succès vaut  `1/6` .
  
• On introduit la variable aléatoire  `X`  qui compte le nombre de succès (ici, « obtenir le résultat 4 » ) dans ce schéma de Bernoulli.

Ainsi,  `X`  suit une  loi binomiale de paramètres `n=4` et  \(p=\dfrac{1}{6}\) .
On souhaite alors déterminer la probabilité d'obtenir exactement deux fois le résultat  4 à l'issue des 5 lancers.
On a alors  \(P(X=2)=\dbinom{5}{2} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \times \left(1-\dfrac{1}{6}\right)^{5-2}=\dfrac{625}{3\,888}\simeq 0,161\)  à  `10^(-3)`  près.