☛ Déterminer une taille d'échantillon

Étant donné un réel  \(\alpha \in ]0;1[\)  et une variable aléatoire `X` suivant une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) , on souhaite déterminer la valeur de \(n\) à partir de laquelle on a  \(P(X \geqslant 1) \geqslant \alpha\) .

Énoncé

Un lycée présente \(n\) candidats au recrutement dans une école d'ingénieurs, où  \(n\) est un entier naturel non nul. On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d’être admis à l’école est égale à 0,24 et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres. On souhaite déterminer l’entier  \(n\) à partir duquel la probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école est supérieure ou égale à 0,99.

Solution

On introduit la variable aléatoire  \(X\)  qui comptabilise le nombre de candidats admis à l'école en question parmi les  \(n\)  candidats. `X` compte donc le nombre de succès après  \(n\) épreuves identiques et indépendantes , dont la probabilité de succès est de 0,24.

`X` suit donc une loi binomiale de paramètres \(n\) et 0,24. 
La probabilité re cherchée est  \(P(X \geqslant 1)\) .
Or,  \(P(X \geqslant 1)=1-P(X<1)\) .

Par ailleurs, la variable aléatoire \(X\)   prenant ses valeurs dans l 'ensemble \(\{0;1;...;n\}\) , on a donc  \(P(X<1)=P(X=0)\) .
Ainsi,  \(P(X \geqslant 1)=1-P(X=0)=1-\dbinom{n}{0}\times 0,24 ^0 \times (1-0,24)^{n-0}=1-0,76^n\) .
On cherche donc la valeur de \(n\) à partir de laquelle on a  \(1-0,76^n \geqslant 0,99\) .

Première méthode
On procède à l'aide d'un algorithme en remarquant que la suite de terme général  \(1-0,76^n\)  est croissante. Ainsi, dès que l'on trouvera un terme de cette suite supérieur à 0,99, alors tous les termes  suivants le seront également. En particulier, on a  \(1-0,76^{16} \simeq 0,988\)  et  \(1-0,76^{17}\simeq 0,991\) . L'entier recherché est donc 17.

Seconde méthode
On résout l'inéquation à l'aide du logarithme népérien. On a en effet  \(1-0,76^n \geqslant 0,99\)  si et seulement si  \(-0,76^n \geqslant -0,01\)  soit  \(0,76^n \leqslant 0,01\) .
Par croissance du logarithme népérien sur  \(]0;+\infty[\) , on a  \(0,76^n \leqslant 0,01\)   si et seulement  si  \(\ln(0,76^n) \leqslant \ln(0,01)\)  soit  \(n \ln(0,76) \leqslant \ln(0,01)\) . On divise alors par  \(\ln(0,76)\)  qui est un nombre strictement négatif. On obtient donc  \(n \geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,76)}\) .
Or,  \(\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,76)}\simeq 16,7\) .
L'entier recherché est donc 17.