Les manuels libres - Mathématiques Spécialité

Combinatoire et dénombrement

Les mathématiciennes et mathématiciens nous racontent

Viviane Pons

Des cartes bien à leur place ! - Vidéo

Dans les épisodes précédents

Ensemble fini, cardinal

Opérations sur les ensembles

Cardinal de la réunion, cardinal de l'intersection

☛ Déterminer le cardinal de la réunion, le cardinal de l'intersection

______
Cours

Principes

Principe additif

☛ Utiliser le principe additif

Principe multiplicatif

Listes d'éléments

k-uplet (ou k-liste)

✎ Dénombrement des k-uplets (ou k-listes)

Nombre de parties d'un ensemble fini

Permutation d'un ensemble fini, notation factorielle

Listes d'éléments distincts

☛ Utiliser des listes d'éléments distincts

Combinaisons

Combinaison d'éléments d'un ensemble

Nombre de combinaisons d'éléments d'un ensemble

☛ Déterminer un nombre de combinaisons d'éléments d'un ensemble

☛ Autres exemples de calcul de nombre de combinaisons

Triangle de Pascal - Activité préparatoire

Triangle de Pascal

✎ Problèmes de dénombrement

______
Exercices

Appliquer

Listes ordonnées avec répétition

Listes ordonnées sans répétition - Arrangements

Listes ordonnées sans répétition - Permutations

Listes non ordonnées - Combinaisons

Loto

(***) S'entraîner

Pour chaque exercice, on indique le niveau de difficulté.
* : facile ; ** : difficulté moyenne ; *** : difficile.

* Factorielles de tête

* Listes ordonnées

* Listes non ordonnées

* Célibataires

* Groupes avec femmes et hommes

(***) * Digicode

______

** Le voyageur de commerce

** Codes secrets

______

*** Poker

*** 06 xx xx xx xx

Les perles du BAC

Sujet 0 (2024)

Algorithme et programmation

Secret Santa

Activité CAPYTALE : Permutations et Secret Santa

______
Quelques rappels pour commencer

Ajouter un élément dans une liste

Retirer un élément d'une liste

Choix d'un élément au hasard

______
Permutation aléatoire de {0, 1, ..., n-1}

Génération d'une permutation

Permutation sans point fixe

Probabilité d'obtenir une permutation sans point fixe

Secret Santa

Triangle de Pascal

Activité CAPYTALE : Triangle de Pascal

______
Quelques rappels pour commencer

Génération d'une liste

Liste de listes

Opérations sur les listes

Modification des éléments d'une liste

Modification des éléments d'une liste par un parcours

Exercices

______
Triangle de Pascal

Rappel du principe et modélisation

Construction d'un triangle vide

Complétion du triangle

Un résultat important

______
Dans la prochaine saison : objectif post-BAC !

Exercices vers le supérieur

☛ Dénombrer des anagrammes

Réponses à un QCM au BAC

Formule de Vandermonde

Formule du et des capitaines

En binaire

Suite strictement croissante

☆ Le jeu du tarot « africain »

______

☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

☛ Le jeu du tarot « africain »

Vecteurs, droites et plans - Orthogonalité et distances dans l'espace

Les mathématiciennes et mathématiciens nous racontent

Olivier Druet - Bulles de savon : expériences - Vidéo

Amandine Aftalion : Pourquoi des plis dans les vêtements ? - Vidéo

Dans les épisodes précédents

Vecteurs, repérage et systèmes dans le plan

______
Vecteurs du plan

Formulaire

Image d'un point du plan par une translation

Somme de vecteurs du plan

Relation de Chasles dans le plan

Synthèse - Opérations sur les vecteurs du plan

______
Repérage dans le plan

Coordonnées d'un vecteur du plan

Coordonnées d'un point du plan

Vecteurs colinéaires

Coordonnées d'un vecteur et du milieu d'un segment

Un quadrilatère particulier

______
Résolution de système linéaire

✎ Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues

✎☛ Résoudre un système par substitution

✎☛ Résoudre un système par combinaison

Produit scalaire et distances dans le plan

Projeté orthogonal d'un point sur une droite du plan

Produit scalaire dans le plan

Utiliser l'orthogonalité de deux vecteurs du plan

Équation d'un cercle dans le plan

Distance dans le plan

______
Cours

Vecteurs, droites et plans, repérage dans l'espace

______
Vecteurs de l'espace

Translation et vecteurs de l'espace

Somme de vecteurs de l'espace

☛ Décomposer un vecteur

Produit d'un vecteur de l'espace par un réel

☛ Additionner des vecteurs de l'espace

Combinaison linéaire de vecteurs de l'espace

☛ Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de vecteurs

______
Droites et plans de l'espace

Caractérisation vectorielle d'une droite de l'espace

Position relative de deux droites de l'espace

✎ Position relative de deux droites de l'espace

Points et vecteurs coplanaires

Caractérisation vectorielle d'un plan de l'espace

Comment définir un plan ?

Position relative d'une droite et d'un plan de l'espace

Position relative de deux plans de l'espace

______
Repérage dans l'espace

Base de l'espace

Repère de l'espace

✎☛ Déterminer les coordonnées d'un point dans un repère de l'espace

Opérations sur les coordonnées

✎☛ Utiliser la colinéarité de deux vecteurs

✎☛ Démontrer que deux vecteurs ne sont pas colinéaires

✎☛ Étudier la coplanarité de trois vecteurs : cas de vecteurs coplanaires

☛ Étudier la coplanarité de trois vecteurs : cas de vecteurs non coplanaires

☛ Étudier la coplanarité de quatre points

Orthogonalité et distances dans l'espace

______
Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace

Propriétés du produit scalaire

Produit scalaire dans une base et un repère orthonormés

______
Orthogonalité dans l'espace

Orthogonalité de deux vecteurs de l'espace

Orthogonalité de deux droites de l'espace

Orthogonalité d'un plan et d'une droite de l'espace

______
Vecteur normal à un plan

Vecteur normal à un plan

☛ Justifier qu'un vecteur est normal à un plan

Position relative d'une droite et d'un plan

☛ Étudier la position relative d'une droite et d'un plan

Position relative de deux plans

______
Projeté orthogonal d'un point

Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Projeté orthogonal d'un point sur un plan

Caractérisation scalaire d'un plan de l'espace

______
Distances dans l'espace

Distances dans un repère orthonormé

Sphère

Plan médiateur d'un segment

______
Exercices

Appliquer

______
Décomposition d'un vecteur de l'espace

Dans un cube

Dans un parallélépipède rectangle

Dans un tétraèdre

______
Repérage dans l'espace

Calculs des coordonnées d'un vecteur

Vecteurs coplanaires, points coplanaires

Colinéarité de vecteurs et alignement de points

Calculs des coordonnées du milieu d'un segment

______
Produit scalaire dans l'espace

Calcul d'angle (1)

Calcul d'angle (2)

Produit scalaire dans un tétraèdre régulier

Dans un repère orthonormé

______
Orthogonalité, vecteur normal à un plan

☛ Montrer que deux droites sont perpendiculaires

Position relative d'une droite et d'un plan

Déterminer un vecteur normal à un plan

______
Distances dans l'espace

Calculs de distances

Nature d'un triangle

Nature d'un quadrilatère

S'entraîner

Pour chaque exercice, on indique le niveau de difficulté.
* : facile ; ** : difficulté moyenne ; *** : difficile.

* Produit scalaire et orthogonalité

☛ * Recherche d'un vecteur normal à un plan

* Sphère

______

** Volume d'un tétraèdre (1)

** Volume d'un tétraèdre (2)

☛ ** Distances dans l'espace

☛ ** Sphère

______

*** Aire d'un triangle

*** Projeté d'un point sur un plan ?

Les perles du BAC

Centres étrangers, mars 2023, sujet 1 (adapté)

Centres étrangers, mars 2023, sujet 2 (adapté)

Asie, mars 2023, sujet 2 (adapté)

Amérique du Nord, mars 2023, sujet 1 (adapté) QCM

Représentations paramétriques et équations cartésiennes

______
Cours

Représentation paramétrique d'une droite de l'espace

Représentation paramétrique d'une droite

☛ Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

✎☛ Lire les caractéristiques d'une droite à partir d'une représentation paramétrique

✎☛ Déterminer si deux droites sont parallèles

✎ Déterminer les coordonnées de points d'une droite à partir d'une représentation paramétrique

✎☛ Étudier l'appartenance d'un point à une droite

✎☛ Déterminer si deux droites de l'espace sont sécantes

✎☛ Déterminer si deux droites sont perpendiculaires

Équation cartésienne d'un plan de l'espace

Équation cartésienne d'un plan

☛ Déterminer une équation cartésienne d'un plan

☛ Déterminer si un point appartient à un plan

☛ Déterminer si deux plans sont parallèles

☛ Déterminer la droite d'intersection de deux plans sécants

☛ Étudier l'intersection d'une droite et d'un plan

Équations de plans particuliers

☛ Déterminer le point d'intersection d'une droite et d'un plan

☛ Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan

Distance d'un point à un plan

______
Exercices

Appliquer

______
Représentation paramétrique d'une droite

Lire une représentation paramétrique de droite

Determiner si un point appartient à une droite

Déterminer une représentation paramétrique de droite

Étudier la position relative de deux droites

Dans un cube

Position relative de deux droites

______
Équation cartésienne d'un plan

Vérifier qu'un point appartient à un plan

Déterminer une équation cartésienne d'un plan 1

Déterminer une équation cartésienne d'un plan 2

Droites et plans (1)

Droites et plans (2)

Position relative de deux plans

S'entraîner

Pour chaque exercice, on indique le niveau de difficulté.
* : facile ; ** : difficulté moyenne ; *** : difficile.

* Équation cartésienne d'un plan - Cube (1)

* Équation cartésienne d'un plan - Cube (2)

* Équation cartésienne d'un plan - Cube (3)

* Équation cartésienne d'un plan

* Plan médiateur d'un segment

☛ * Plan médiateur d'un segment

______

** QCM

** Exercice de synthèse - Optimisation avec une fonction

☛ ** Distance d'un point à une droite

☛ ** Intersection d'une droite et d'une sphère

☛ ⚒ ** Intersection d'une sphère et d'un plan

⚒ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence

Intersection d'une sphère et d'un plan - Corrigés

______

*** Volume d'un tétraèdre

*** Distance d'un point à un plan

Les perles du BAC

Volume d'un tétraèdre - Métropole, mars 2023

Un calcul d'aire - Nouvelle-Calédonie, août 2023

Perpendiculaire commune - Polynésie, mars 2023

Avec une sphère - Amérique du Sud, septembre 2023

______
Dans la prochaine saison : objectif post-BAC !

Exercices vers le supérieur

Plan médiateur et optimisation

Distance entre deux droites

Tétraèdre orthocentrique

☆ Sphère circonscrite à un tétraèdre

Concours GEIPI-Polytech 2023

______

Concours Avenir 2023

Exercices issus du Concours général

______

☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

☛ Sphère circonscrite à un tétraèdre

Suites et récurrence

Les mathématiciennes et mathématiciens nous racontent

Benoît Rittaud - La tour de Hanoï, entre jeu, algorithmes et fractals - Vidéo

Dans les épisodes précédents

Calculs de termes, tableur et algorithme

Suites arithmétiques

Suites géométriques

✎ ☛ Étude de la monotonie d'une suite

______
Cours

Définitions

Définition d'une suite majorée, minorée, bornée

Suite majorée, minorée, bornée - Exemples

(***) Principe de récurrence

(***) Publicité pour le sucre - Vidéo

Principe de récurrence

Principe de récurrence - Exemple

______
Exercices

Appliquer

Suites majorées, minorées, bornées

Forme explicite d'une suite définie par récurrence

Récurrence pour montrer une monotonie

Récurrence pour montrer qu'une suite est bornée

Inégalité de Bernoulli

Escargot de Pythagore

Récurrence pour dénombrer

(***) S'entraîner

Pour chaque exercice, on indique le niveau de difficulté.
* : facile ; ** : difficulté moyenne ; *** : difficile.

______
Études de suites

* Suites majorées, minorées, bornées

☛ * Récurrence pour étudier une monotonie

* Forme explicite d'une suite définie par récurrence

** Une minoration ou une majoration pour en déduire la monotonie

(***) ** Les tours de Hanoï - Grand Oral

______
Calculs de sommes

** Se familiariser avec les symboles somme et produit

** Récurrence pour calculer des sommes

** Notation ∑ et opérations

______

*** Démontrer une formule de dérivation

*** Un peu de géométrie

*** Prise d'initiative

Les perles du BAC

Métropole, septembre 2023 (partiel)

Polynésie, mai 2022 (partiel)

______
Dans la prochaine saison : objectif post-BAC !

Exercices vers le supérieur

Des sommes

Des produits

Démontrer une formule de dérivation

Récurrence double - Grand Oral

Récurrence forte

☆ Un produit de sommes

☆ Quand une propriété est héréditaire mais fausse

☆ Étonnant, non ?

______

☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

⚒ Quand une propriété est héréditaire mais fausse

⚒ Un produit de sommes

☛ Étonnant, non ?

Limites de suites

Dans les épisodes précédents

☛ Utilisation d'une suite auxiliaire géométrique

Conjectures graphiques sur la monotonie et la limite d'une suite

______
Cours

Suite tendant vers l'infini

Généralités

Cas des suites monotones

Suite admettant une limite finie

Généralités

Cas des suites monotones

Suites sans limite

Cas particulier des suites sans limite finie ou infinie

Suites sans limites - Exemples

Limites et opérations

______
Limites et somme

Tableau récapitulatif : limite d'une somme de suites

☛ Exemples d'application

______
Limites et produit

Tableau récapitulatif : limite d'un produit de suites

☛ Exemples d'application

______
Limites et quotient

Tableau récapitulatif : limite d'un quotient de suites

☛ Exemples d'application

______
Lever une indétermination

✎ ☛ Lever une indétermination dans une somme

✎ ☛ Lever une indétermination dans un quotient

Limites et comparaison

Cas de limites infinies

☛ Déterminer une limite infinie

Cas de limites finies - Théorème des gendarmes

☛ Déterminer une limite finie - Théorème des gendarmes

Cas particulier de la suite (q^n)

Comportement à l'infini

Démonstration partielle de la propriété

☛ Déterminer un comportement à l'infini

______
Exercices

Appliquer

Convergence des suites monotones

Limites et opérations - Somme et produit par un réel

Limites et opérations - Produits

Limites et opérations - Quotients

Limites et opérations - Avec des suites géométriques

Limites et opérations - Avec une somme à calculer

Comparaison et limites infinies

Théorème des gendarmes

S'entraîner

Pour chaque exercice, on indique le niveau de difficulté.
* : facile ; ** : difficulté moyenne ; *** : difficile.

______
Lever des indéterminations

* Dans une somme

* Dans un quotient

** Théorème des gendarmes et opérations sur les limites

______
Étudier des suites définies par récurrence

* Suite arithmético-géométrique

* Avec une fonction exponentielle

** Suite homographique

** Suite définie par une relation de récurrence et comparaison

** Une suite non convergente

** Importance du premier terme sur le comportement d'une suite

** Tapis de Sierpinski

** Suite récurrente linéaire d'ordre 2

______

*** Vrai ou faux sur les limites de suites (1)

*** Vrai ou faux sur les limites de suites (2)

*** Prise d'initiative

*** Des suites mêlées

*** Suite récurrente définie par une fonction décroissante

☛ *** Limite d'une somme

*** Approximation du nombre d'or - Grand Oral

Les perles du BAC

Métropole, mars 2023

Métropole, septembre 2021

Amérique du Nord, mai 2022

La Réunion, mars 2023

QCM posé au BAC

En lien avec les probabilités - Polynésie, mars 2023 (partiel)

Algorithme et programmation

Algorithme de seuil

Activité CAPYTALE : algorithme de seuil

______
Quelques rappels pour commencer

Calcul d'un terme avec une formule explicite

Calcul à l'aide d'une formule de récurrence

______
Algorithme de seuil

Suite croissante qui tend vers l'infini

Cas d'une suite croissante tendant vers une limite finie

Cas d'une suite décroissante

______
Les perles du BAC

Polynésie 2022, sujet 1

Polynésie 2022, sujet 2

Asie, 2022

Centres étrangers, 2022

Polynésie, septembre 2022

Amérique du Nord, 2023

Amérique du Sud, 2022

Approximation de Pi

Activité CAPYTALE : approximation de Pi

______
Quelques rappels pour commencer

Générer et modifier une liste de taille donnée

Générer une liste contenant l'ensemble des valeurs d'une suite

Générer la liste des termes d'une suite

______
Méthode d'Archimède

Principe de la méthode d'Archimède

Méthode d'Archimède - Construction de deux suites

Méthode d'Archimède - Représentation graphique des suites a et b

Méthode d'Archimède - Aspect théorique

______
Méthode de l'arctangente

Méthode de l'arctangente

Suite moyenne

______
Autres méthodes

Le problème de Bâle

Algorithme de Chudnovsky

______
Dans la prochaine saison : objectif post-BAC !

Exercices vers le supérieur

Croissances comparées

pi carré sur 6

0,999... est-il égal à 1 ?

Valeur absolue et convergence

☆ Convergence des suites adjacentes

☆ e

☆ e est irrationnel

______

☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

⚒ Convergence des suites adjacentes

☛ e - Corrigé

⚒ e est irrationnel

Limites de fonctions

Dans les épisodes précédents

Calculs de limites de suites

Lectures graphiques de limites de suites

______
Cours

Limite en l'infini

______
Limite infinie

Limites en plus l'infini

Limites en moins l'infini

Limites de référence

______
Limite finie

Limite en plus l'infini

Limite en moins l'infini

Unicité de la limite

Asymptote parallèle à l'axe des abscisses

Limites de référence

______
Lien avec les suites

Limite d'une suite explicite

Limite en un réel

______
Limite infinie

Quand la limite est plus l'infini

Quand la limite est moins l'infini

Asymptote parallèle à l'axe des ordonnées

Limites de référence

______
Limite finie

Quand la limite est finie

Unicité de la limite

Limites des fonctions de référence

Limite et taux de variation

Opérations, comparaison et composition

______
Limites et opérations

Limite d'une somme de fonctions

Limite d'un produit de fonctions

Limite d'un quotient de fonctions

______
Limites et ordre

Théorème de comparaison

Théorème des gendarmes

______
Limite et composée

Limite d'une fonction composée

Limites et fonction exponentielle

Limites aux bornes

Croissances comparées

Lever des indéterminations

✎☛ Lever une indétermination dans une somme

✎☛ Lever une indétermination dans un quotient (1)

✎☛ Lever une indétermination dans un quotient (2)

✎☛ Lever une indétermination dans une expression avec des racines carrées

______
Exercices

Appliquer

Lectures graphiques de limites (1)

Lecture graphique de limites (2)

Asymptote or not ?

Lecture d'un tableau de variations

Limites en l'infini et somme (sans indétermination)

Limites en l'infini et produit (sans indétermination)

Limites en l'infini et quotient (sans indétermination)

Limites en un réel et opérations

Limites et composée (sans indétermination)

Limites et comparaison

Limites et théorème des gendarmes

S'entraîner

Pour chaque exercice, on indique le niveau de difficulté.
* : facile ; ** : difficulté moyenne ; *** : difficile.

* Un problème sanitaire

* Graphique et composée

* Exploiter un tableau de variations

______

** Limites et somme

** Limites et quotient

** Limites variées

** Deux méthodes pour une même limite

** La fonction mystère

** Asymptotes or not - Le retour

** Étude de fonction

______

*** Asymptote oblique

*** Luttons contre les idées fausses

Les perles du BAC

Centre étrangers, mars 2023 (partiel)

Polynésie, mars 2023 (partiel)

Centres étrangers, mai 2022 (partiel)

Centres étrangers, juin 2021 (partiel)

Asie, juin 2021 (partiel)

______
Dans la prochaine saison : objectif post-BAC !

Exercices vers le supérieur

☆ Formule du binôme et limite

Une famille de fonctions

☆ Quantité conjuguée

☆ Limite de limite

______

☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

⚒ Formule du binôme et limite

⚒ Quantités conjuguées

☛ Limite de limite

Compléments sur la dérivation - Convexité

Dans les épisodes précédents

Dérivées des fonctions usuelles et opérations sur les fonctions dérivables

Calculs de dérivées

Équation de la tangente

Lecture graphique de nombres dérivés

Étude des variations d'une fonction

Distinguer la courbe d'une fonction de celle de sa dérivée

______
Cours

Compléments sur la dérivation

______
Dérivée et composée

Définition de la composée de deux fonctions

Dériver une fonction composée

Tableau de dérivation des fonctions composées

______
Dérivées d'ordre supérieur

Dérivée seconde et dérivées d'ordre supérieur d'une fonction

☛ Lien vers les équations différentielles

Convexité

______
Approche graphique

Fonction convexe

Fonction concave

Point d'inflexion

☛ Étude de la convexité

______
Convexité des fonctions dérivables

Lien entre convexité, f' et f''

☛ Étudier la convexité d'une fonction, f' et f''

Convexité de quelques fonctions de référence

Position de la courbe par rapport à ses tangentes

______
Exercices

Appliquer

______
Composée d'une fonction

Déterminer l'expression d'une composée

Décomposer une fonction

______
Dérivation : compléments

Calculer des dérivées

Déterminer une équation de tangente

Calculer des dérivées secondes

______
Convexité

Étudier graphiquement la convexité d'une fonction

Étudier algébriquement la convexité d'une fonction

Étudier la convexité à partir du tableau de variations de f'

Étudier la convexité à partir du tableau de signes de f''

S'entraîner

Pour chaque exercice, on indique le niveau de difficulté.
* : facile ; ** : difficulté moyenne ; *** : difficile.

______
Dérivation : compléments

* Étude de variations de fonctions

* Courbes tangentes

** Étudier une composée

** Extremum d'une fonction

** Déterminer l'expression d'une fonction à partir de sa courbe représentative

** Expression d'une dérivée n-ième (1)

*** Variations et tangente avec contrainte

*** Étude d'une suite de fonctions

*** Expression d'une dérivée n-ième (2)

______
Convexité

* Convexité de f à partir de la courbe de f'

* Convexité de f à partir de la courbe de f''

* Exploiter un graphique

* Inégalité de convexité

** Représenter une fonction connaissant sa dérivée

** Quand il vaut mieux vérifier ses conjectures

** Inégalité de Bernoulli - Le retour

** Deux méthodes pour étudier le signe d'une fonction

** Coût marginal et coût moyen

*** Faisabilité d'un projet routier

*** Convexité et intersection de tangente avec l'axe des ordonnées

Les perles du BAC

Centres étrangers, mars 2023 (partiel)

Amérique du Nord, mars 2023 (partiel)

Des QCM

Algorithme et programmation

Activité CAPYTALE : méthode de la fausse position

______
Étude théorique

Principe de la méthode

Justification de la méthode

Expression par récurrence

Et dans les autres cas ?

______
Implémentation

Implémentation en Python

______
Dans la prochaine saison : objectif post-BAC !

Exercices vers le supérieur

Polynôme et point d'inflexion

Une suite qui tend vers e

Valeur absolue

☆ Leibniz et Vandermonde

☆ Caractérisation de la convexité et applications

☆ Inégalité des pentes

☆ Fonction de Gumbel

______

☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

⚒ Leibniz et Vandermonde

⚒ Inégalité des pentes

⚒ Caractérisation de la convexité et applications

⚒ Fonction de Gumbel

Continuité des fonctions d'une variable réelle

Dans les épisodes précédents

Calculs de limites

Lecture graphique du nombre de solutions d'une équation

______
Cours

Généralités

Avec les limites

Aspect graphique

Lien avec la dérivabilité

Exemples de fonctions continues

Fonction partie entière

Généralités

Limites aux bornes

Étude de la continuité

Théorème des valeurs intermédiaires

Énoncé du théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

☛ Appliquer le TVI

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

☛ Utiliser le corollaire du TVI

Continuité et suites

Image d'une suite convergente par une fonction continue

☛ Convergence d'une suite

______
Exercices

Appliquer

Étudier graphiquement la continuité

Étudier algébriquement la continuité (1)

Étudier algébriquement la continuité (2)

Nombre de solutions d'une équation

Limite d'une suite définie par récurrence

Représenter une fonction faisant intervenir la fonction partie entière

S'entraîner

Pour chaque exercice, on indique le niveau de difficulté.
* : facile ; ** : difficulté moyenne ; *** : difficile.

______
Continuité et partie entière

* Continuité avec paramètre

** Calcul de limite avec la partie entière

*** Continuité d'une fonction faisant intervenir la fonction partie entière

______
Théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire

* Nombre de solutions d'une équation de degré 4

* Vérifier une conjecture

** Avec une fonction auxiliaire

** En lien avec les SES

** En lien avec la SVT

** Position relative de courbes

*** Distance à une courbe

*** Plouf !

______
Continuité et suites

** Étude d'une suite (1)

** Équation fonctionnelle

*** Étude d'une suite (2)

*** Suite implicite

Les perles du BAC

QCM

Polynésie, septembre 2023

Métropole, mai 2022

Amérique du Nord, mai 2022

Métropole, septembre 2021

Algorithme et programmation

______
Pour commencer...

Activité CAPYTALE : dichotomie

Attraper le monstre

Principe

______
Étude de l'algorithme

Algorithme « à la main »

Nombre d'itérations

______
Implémentation

Résolution approchée de f(x)=0

Résolution approchée de f(x)=k

Adapter l'algorithme

______
Les perles du BAC

Centres étrangers, 2023, sujet 1

Amérique du Sud, septembre 2023

______
Dans la prochaine saison : objectif post-BAC !

Exercices vers le supérieur

Prolongement par continuité

Partie entière et continuité

☆ Bornitude et continuité

☆ Partie entière et limites

☆ Un point fixe

☆ Encore un point fixe

Fonction croissante ?

☆ Fonctions affine et cube

______

☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

☛ Un point fixe

☛ Bornitude et continuité

⚒ Partie entière et limites

⚒ Encore un point fixe

⚒ Fonctions affine et cube

Fonction logarithme népérien

Les mathématiciennes et mathématiciens nous racontent

Benoît Rittaud : Magnifiques logarithmes - Vidéo

Dans les épisodes précédents

Utilisation des propriétés algébriques d'exponentielle

Résolution d'équations et d'inéquations avec l'exponentielle

Étude de fonction avec l'exponentielle

Nombre de solutions de l'équation exp(x) = a

______
Cours

Définition et premières propriétés

Définition de ln(a) pour a > 0

☛ Résolution d'équations

Fonction ln

Propriétés algébriques

☛ Transformer des expressions

Étude de la fonction ln

Dérivée et sens de variation

☛ Conséquences de la stricte croissance de la fonction ln

Continuité

Étude de la convexité

Limites aux bornes

Tableau de variations

Courbe représentative

Croissances comparées

☛ Déterminer des limites par croissances comparées

Ln et composée

Dérivée d'une fonction composée avec ln

☛ Étude complète d'une fonction

______
Exercices

Appliquer

Équations et inéquations avec la fonction exponentielle

Équations et inéquations avec la fonction ln

Utiliser les propriétés algébriques (1)

Utiliser les propriétés algébriques (2)

Ensembles de définition

Calculs de limites

Calculs de dérivées

Études de fonctions

Ln et suites : recherche de seuil

Temps de charge d'une batterie

Fréquence cardiaque

S'entraîner

Pour chaque exercice, on indique le niveau de difficulté.
* : facile ; ** : difficulté moyenne ; *** : difficile.

* Un résultat surprenant

* Équations et inéquations avec la fonction exponentielle

* Équations et inéquations avec la fonction ln

* Vrai ou faux ?

* Composée (1)

* Étude d'une fonction (1)

* Définition du logarithme décimal

______

** Composée (2)

** Calculs de limites

** Étude d'une fonction (2)

** Application du logarithme décimal

** Radioactivité

** En lien avec la SES

** ln et suite (1)

** ln et suite (2)

** Constructions géométriques

______

*** Étude d'une fonction (3)

*** Minimisation d'une distance

*** Étude d'une population d'hippopotames

Les perles du BAC

Centres étrangers, mars 2023

Métropole, septembre 2023

Algorithme et programmation

Activité CAPYTALE : algorithmes de calcul du logarithme

Introduction

______
Premier algorithme de Briggs

Logarithme décimal

Premier algorithme de Briggs

Un algorithme historique

______
Second algorithme de Briggs

Étude d'une suite convergente vers ln(a)

Implémentation de l'algorithme

______
Algorithme CORDIC

Algorithme CORDIC

______
Dans la prochaine saison : objectif post-BAC !

Exercices vers le supérieur

☆ Suite qui tend vers e

☆ e revient

Suite qui tend vers ln (2)

☆ Une équation

Suite implicite

Constante d'Euler

Dérivée logarithmique

Un truc de banquier

Indice de Theil

______

☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

☛ Une équation

⚒ Suite qui tend vers e

⚒ e revient

Primitives - Équations différentielles

Les mathématiciennes et mathématiciens nous racontent

Isabelle Gallagher

Daniel Perrin

Daniel Perrin : Mathématiques et peinture

Dans les épisodes précédents

Lien entre deux fonctions données

Lien entre une fonction et ses dérivées successives

______
Cours

Premiers pas dans les équations différentielles

Introduction aux équations différentielles

✎ ☛ Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Notion de primitive d'une fonction

☛ Équation différentielle de la forme y' = f

Une primitive d'une fonction

✎ ☛ Vérifier qu'une fonction est une primitive

Les primitives d'une fonction

☛ Déterminer les primitives d'une fonction

La primitive vérifiant une condition initiale

☛ Déterminer la primitive vérifiant une condition initiale

Calcul d'une primitive d'une fonction

Primitives usuelles

Primitive d'une somme

☛ Déterminer une primitive d'une somme

Primitive d'une fonction produit d'une fonction par un réel

☛ Déterminer une primitive d'une fonction produit d'une fonction par un réel

Primitive d'une composée de fonctions

Équations différentielles à connaître

______
Équation différentielle y' = ay

Ensemble de solutions de y' = ay

☛ Résoudre l'équation différentielle y'=ay

______
Équations différentielles y' = ay + b et y' = ay + f

Solution particulière de y' = ay + b

☛ Déterminer une solution particulière de y' = ay + b

Ensemble de solutions de y' = ay + b

☛ Déterminer l'ensemble des solutions de y' = ay + b

Unicité de la solution de y' = ay + b vérifiant une condition initiale

☛ Déterminer la solution de y' = ay + b avec une condition initiale

Résolution de y' = ay + f à partir d'une solution particulière

☛ Résoudre y' = ay + f à partir d'une solution particulière

______
Exercices

Appliquer

______
Calcul de primitives

Calculs de primitives (somme et produit par un réel)

Calculs de primitives (composition)

______
Équations différentielles

Vrai ou faux ?

Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

☛ Déterminer l'unique primitive définie par une condition initiale donnée

Équations différentielles y' = ay

Équations différentielles y' = ay + b

S'entraîner

Pour chaque exercice, on indique le niveau de difficulté.
* : facile ; ** : difficulté moyenne ; *** : difficile.

______
Calculs de primitives

* Déterminer des primitives (1)

* Déterminer des primitives (2)

** Déterminer des primitives (3)

** Déterminer des primitives (4)

*** Déterminer des primitives (5)

______
Équations différentielles

* Taux de chlore dans une piscine

* Refroidissement d'un plat

** Fibre optique, puissance d'un signal

** Congélation d'aliments

** En lien avec la SVT : taux d'alcool - Grand Oral

*** Équation différentielle y' = ay + f (1)

*** Équation différentielle y' = ay + f (2)

Les perles du BAC

Sujet 0, 2021

Asie, juin 2021

Centres étrangers, juin 2021

Polynésie, juin 2021

Métropole, juin 2021

Sujet 0, 2024

______
Dans la prochaine saison : objectif post-BAC !

Exercices vers le supérieur

☛ Exemple de calcul particulier de primitive

Calculs de primitives particulières

☆ Équation différentielle avec changement de variable (Pondichéry, avril 2006)

Méthode de la variation de la constante

______

☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

☛ Équation différentielle avec changement de variable (Pondichéry, avril 2006)

Calcul intégral

Dans les épisodes précédents

Unité d'aire

Calculs d'aires

Primitive d'une fonction

Calculs de dérivées

Calculs de primitives

QCM - Primitives de fonctions

______
Cours

Activité - La méthode des rectangles

Aires particulières - Exercices préliminaires

Objectif de l'activité

Protocole de construction des rectangles

Méthode des rectangles - Rectangles inférieurs

Méthode des rectangles - Rectangles supérieurs

Algorithme

Intégrale d'une fonction continue et positive

______
Généralités

Aire et intégrale

Notation intégrale - Remarques

Cas particulier des fonctions constantes

______
Intégrale et primitive

Lien entre intégrale et primitive

Calcul d'intégrale à l'aide d'une primitive

☛ Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive

Intégrale d'une fonction continue

______
Définition et propriétés

Intégrale d'une fonction continue

Propriétés algébriques

☛ Utiliser la linéarité

Relation de Chasles

☛ Utiliser la relation de Chasles

Intégrales et inégalités

☛ Encadrer une intégrale

Fonctions paires et impaires

Valeur moyenne d'une fonction

Intégration par parties (IPP)

☛ Intégrer par parties (IPP)

______
Aire et intégrale

Fonction négative

Fonction de signe non constant

Aire entre deux courbes

☛ Calculer l'aire entre deux courbes

______
Exercices

Appliquer

Visualiser un domaine

Encadrer une aire

Encadrer une intégrale

Calculer un intégrale grâce à une primitive

Calculer la valeur moyenne d'une fonction

Calculer une intégrale grâce à une intégration par parties

S'entraîner

Pour chaque exercice, on indique le niveau de difficulté.
* : facile ; ** : difficulté moyenne ; *** : difficile.

______

* Calculs d'intégrales

* Intégrales et suites (1)

* Calcul de l'aire entre deux courbes

* QCM

______

** Courbe de Lorenz et indice de Gini - Grand Oral

** Intégrales et suites (2)

** Encadrement d'une intégrale

______

*** IPP impossible ?

*** Ancien sujet de bac : Polynésie, septembre 2020

*** Ancien sujet de bac : métropole, septembre 2020

*** Ancien sujet de bac : métropole, septembre 2019

*** Ancien sujet de bac : Antilles-Guyane, juin 2016

*** Ancien sujet de bac : métropole, juin 2014

*** Ancien sujet de bac : Nouvelle-Calédonie, mars 2014

Les perles du BAC

Sujet 0, 2024

Amérique du Nord, mai 2024

Asie, juin 2024 (extrait)

Métropole, juin 2024

Algorithme et programmation

______
Algorithme de calcul approché d'intégrales

Énoncé du problème

Activité CAPYTALE : calcul approché d'intégrales

______
Méthodes déterministes

Méthode des rectangles

Méthode des trapèzes

Méthode de Simpson

______
Méthode probabiliste : algorithme de Monte-Carlo

Méthode de Monte-Carlo

______
Dans la prochaine saison : objectif post-BAC !

Exercices vers le supérieur

IPP avec décomposition en éléments simples

Changement d'écriture

e is back !

Trois intégrales d'un coup

Deux suites d'intégrales

☆ ln(2)

Suite doublement indexée

Limite d'une intégrale

☆ Intégrale et somme

Quand les bornes varient

☆ Point fixe

______

☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

☛ ln(2)

⚒ Point fixe

⚒ Intégrale et somme

Fonctions cosinus et sinus

Les mathématiciennes et mathématiciens nous racontent

Amandine Aftalion : Pourquoi est-on penché dans les virages ? - Vidéo

Stéphane Mallat - Vidéo

Dans les épisodes précédents

Cercle trigonométrique - cosinus et sinus remarquables

Points sur le cercle trigonométrique

Valeurs remarquables des cosinus et sinus d'un réel

______
Cours

Définition et propriétés

Fonctions cosinus et sinus

Périodicité et parité des fonctions cosinus et sinus

☛ Encadrements de cosinus et sinus

Dérivées et variations

☛ Dérivées des fonctions cosinus et sinus

Étude des variations de la fonction cosinus sur une période

Étude des variations de la fonction sinus sur une période

Courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus

☛ Dérivée d'une fonction composée avec cosinus et sinus

______
Exercices

Appliquer

☛ Résolution d'équations avec cosinus (1)

Résolution d'équations avec cosinus (2)

☛ Résolution d'équations avec sinus (1)

Résolution d'équations avec sinus (2)

☛ Résolution d'inéquation avec cosinus (1)

Résolution d'inéquations avec cosinus (2)

☛ Résolution d'inéquation avec sinus (1)

Résolution d'inéquations avec sinus (2)

Étudier une périodicité

Étudier une parité

Calculs de dérivées

Fonctions trigonométriques et intégrales

S'entraîner

Pour chaque exercice, on indique le niveau de difficulté.
* : facile ; ** : difficulté moyenne ; *** : difficile.

* Où l'on retrouve le TVI

* Quelques calculs de limites

* Résolution d'équation

______

** QCM

** Étude d'une fonction (1)

** Étude d'une fonction (2)

** Étude de la fonction tangente

** Fonction tangente et intégrale

______

*** Logo publicitaire

*** Mouvement d'un ressort

*** Comparaison d'aires

*** Double IPP

Les perles du BAC

Sujet 0 - Des QCM

Centres étrangers, juin 2024

Amérique du Nord, mai 2024

______
Dans la prochaine saison : objectif post-BAC !

Exercices vers le supérieur

Formules d'addition

☆ Calculs d'intégrales

Composée et fonction inconnue

______

☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

⚒ Calculs d'intégrales

⚒ Courbe paramétrée

⚒ Périodicité ?

☛ Zêta

Loi binomiale

Les mathématiciennes et mathématiciens nous racontent

Hugo Duminil-Copin

Dans les épisodes précédents

Arbre pondéré

Indépendance d'événements

Coefficients binomiaux

Loi d'une variable aléatoire

______
Cours

Succession d'épreuves indépendantes

Probabilités dans une succession d'épreuves indépendantes

Épreuve, loi et schéma de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

Espérance et variance d'une loi de Bernoulli

Schéma de Bernoulli

Loi binomiale

Chemins dans un schéma de Bernoulli

Loi binomiale

Probabilité pour une loi binomiale

Loi binomiale : diagramme de probabilités

Espérance et variance d'une loi binomiale

☛ Déterminer une taille d'échantillon

Avec la calculatrice

✎ Loi binomiale avec la TI-83

✎ Loi binomiale avec Numworks

✎ Loi binomiale avec les calculatrices Casio

______
Exercices

Appliquer

______
Succession d'épreuves indépendantes

Tirage de cartes avec remise

Lancers de dé

Tirages dans une urne

______
Loi de Bernoulli et loi binomiale

Loi de Bernoulli

Identifier la loi

Calculs de probabilités avec une loi binomiale

Espérance et variance d'une loi binomiale

Déterminer un intervalle de probabilité donnée

Représentation d'une loi binomiale

S'entraîner

Pour chaque exercice, on indique le niveau de difficulté.
* : facile ; ** : difficulté moyenne ; *** : difficile.

______
Succession d'épreuves indépendantes

* Dans un jeu de rôles...

* Menu d'un restaurant

** Succession de n expériences

** Somme de trois lancers de dés

______
Loi binomiale

* OEF Loi binomiale

* Modéliser à l'aide d'une loi binomiale

* Interprétation de l'espérance

** Espérance et seuil

** Loi binomiale et probabilités conditionnelles

** Paramètres inconnus

*** Avec ou sans remise

______

** Paramètre n inconnu

*** Maximum d'une loi binomiale

*** Maximum de vraisemblance

*** Égalité entre deux lois binomiales

Les perles du BAC

Nouvelle Calédonie, août 2023 (partiel)

La Réunion, mars 2023

Polynésie, juin 2022

Polynésie, mai 2022

Centres étrangers, mars 2023

Asie, mai 2022

Algorithmique et programmation

Simulation de la planche de Galton

______
Présentation et activité complète

Présentation de l'activité

Illustration de la planche de Galton

Simulation de la planche de Galton

Activité CAPYTALE : simulation de la planche de Galton

______
Rappels nécessaires pour l'activité

Quelques rappels : librairie random

Quelques rappels sur les listes

Exercice d'application

______
Simulation de la planche de Galton

Simulation d'une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p

Trajectoire d'une bille

Simulation du lancer de n billes

Comparaison avec la théorie

Problème de la surréservation - Grand Oral

Activité CAPYTALE : le problème de la surréservation

Présentation du problème

Modélisation du problème

Recherche d'un seuil

Bénéfice maximal

______
Dans la prochaine saison : objectif post-BAC !

Exercices vers le supérieur

Un oral de concours !

☆ Loi géométrique

☆ Loi de Poisson

______

☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

⚒ Loi géométrique

⚒ Loi de Poisson

Somme de variables aléatoires - Loi des grands nombres

Les mathématiciennes et mathématiciens nous racontent

Laure Saint-Raymond

Laure Saint-Raymond : "En maths, un de mes jeux préférés c'est le billard !" - Vidéo

Dans les épisodes précédents

Loi d'une variable aléatoire

Loi et espérance

______
Cours

Somme de variables aléatoires

______
Opérations sur les variables aléatoires

Variables aléatoires indépendantes

Produit d'une variable aléatoire par un réel, somme d'une variable aléatoire et d'un réel

Somme de variables aléatoires

______
Espérance, variance et opérations sur les variables aléatoires

Linéarité de l'espérance

Variance et opérations sur les variables aléatoires

Application à la loi binomiale

______
Échantillon de variables aléatoires

Échantillon de variables aléatoires

Variables aléatoires somme et moyenne d'un échantillon

Loi des grands nombres

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de concentration

Loi faible des grands nombres

______
Exercices

Appliquer

______
Opérations sur les variables aléatoires

Somme et produit d'une variable aléatoire par un réel

Somme de deux variables indépendantes

______
Espérance et variance

WIMS : espérance, variance et écart-type de aX + bY

Espérance et variance (1)

Espérance et variance (2)

Variable centrée réduite

Variable moyenne

WIMS : combinaison de lois binomiales

______
Loi des grands nombres

Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Bienaymé-Tchebychev et loi binomiale

Appliquer l'inégalité de concentration

S'entraîner

Pour chaque exercice, on indique le niveau de difficulté.
* : facile ; ** : difficulté moyenne ; *** : difficile.

______
Opérations sur les variables aléatoires

* Extension de garantie

** Somme de lois binomiales

*** Marche aléatoire

______
Espérance et variance

* WIMS : construction d'une variable aléatoire

* Espérance lors d'un jeu de hasard

* Tirage dans une urne

** Menus dans un restaurant

** Concours Marsupial !

* Écart-type

*** Appels téléphoniques

*** Rangement dans des tiroirs

** QCM

______
Loi des grands nombres

** Trafic sur une autoroute

** Lancers de dé

** Proportion inconnue

*** Roulette et casino

*** Surréservation

Les perles du BAC

Sujet zéro, 2024

Métropole, juin 2024

Algorithmique et programmation

Activité CAPYTALE : simulation d'un échantillon de variables aléatoires

Représentation d'une variable aléatoire

______
Simulation d'une variable aléatoire suivant une loi donnée

Illustration sur un exemple

Python et les flottants

Algorithme général

______
Espérance, variance et écart-type

Calcul de l'espérance, de la variance et de l'écart-type

______
Échantillon de variables aléatoires

Simulation d'un échantillon

Comparaison avec l'espérance

Utilisation de l'écart-type

______
Dans la prochaine saison : objectif post-BAC !

Exercices vers le supérieur

☆ Variance d'une somme de deux variables indépendantes

☆ Lois de Bernoulli de paramètres différents

Markov et Bienaymé-Tchebychev

La réciproque est fausse !

Le problème des chapeaux

______

☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

⚒ Variance d'une somme de deux variables indépendantes

⚒ Lois de Bernoulli de paramètres différents

Vocabulaire ensembliste et logique

Les mathématiciennes et mathématiciens nous racontent

Hervé Lehning - Vidéo

______
Cours

Vocabulaire ensembliste

Ensemble, sous-ensemble et cardinal d'un ensemble

Intervalles de l'ensemble des réels

Opérations sur les ensembles

Produit cartésien

Éléments de logique

Proposition mathématique - Quantificateurs universel et existentiel

✎ ☛ Contre-exemple

Connecteurs logiques

☛ Négation d'une proposition - Implication et équivalence

Condition suffisante, condition nécessaire - Vocabulaire

Réciproque d'une implication, contraposée d'une implication

Raisonnements

✎☛ Raisonnement par disjonction de cas

✎☛ Raisonnement par contraposée

✎☛ Raisonnement par l'absurde

✎☛ Raisonnement par équivalence

______

Exercices

Implication et équivalence

Des mathématiques au français - Énoncé

Des mathématiques au français - Corrigé

Du français aux mathématiques - Énoncé

Du français aux mathématiques - Corrigé

Vrai ou faux ?