Représenter une situation sous forme de graphe probabiliste - Corrigé

Énoncé

Benjamin s'intéresse au dessert du jour de la brasserie voisine de son entreprise. Il a fait les observations suivantes.

Si le chef propose de la tarte au citron, le lendemain :

• il en repropose une fois sur six ;
  
• une fois sur quatre, il propose de la mousse au chocolat ;
  
• une fois sur trois, il propose une crème brûlée ;
  
• sinon il propose un café gourmand.

Si le chef propose de la mousse au chocolat, le lendemain :

• il en repropose une fois sur quatre ;
  
• une fois sur cinq, il propose de la tarte au citron ;
  
• une fois sur deux, il propose une crème brûlée ;
  
• sinon il propose un café gourmand.

Si le chef propose une crème brûlée, le lendemain :

• il en repropose une fois sur quatre ;
  
• une fois sur trois, il propose de la tarte au citron ;
  
• une fois sur trois, il propose de la mousse au chocolat ;
  
• sinon il propose un café gourmand.

Si le chef propose un café gourmand, le lendemain :

• une fois sur quatre, il propose de la tarte au citron ;
  
• une fois sur deux, il propose de la mousse au chocolat ;
  
• sinon il propose une crème brûlée.

1. Modéliser la situation sous la forme d'un arbre, puis d'un graphe probabiliste.

2. Quelle modélisation est la plus simple à lire ?

Solution

On va utiliser ci-dessous les lettres :

• T pour la tarte au citron ;
  
• M pour la mousse au chocolat ;
  
• B pour la crème brûlée ;
• C pour le café gourmand.
  

1. La situation peut être modélisée par l'arbre de probabilités suivant :

ou par le graphe probabiliste suivant :

2. Dans les cas où l'arbre devient très « touffu » pour représenter une chaîne de Markov (plus de deux ou trois états), le graphe probabiliste est souvent beaucoup plus lisible, à condition de bien placer les sommets. Par exemple, ici, si on avait placé les sommets B, C, T, M aux quatre coins d'un carré, certains arcs se seraient croisés. De plus, le graphe probabiliste évite de travailler avec des inconnues sur le graphe ; sur l'arbre, il faut introduire  \(t_n, m_n, b_n\)  ; on pourrait écrire  \(1-(t_n+m_n+b_n)\)  au lieu d'introduire  \(c_n.\)

Attention cependant, le graphe probabiliste ne convient pas à une situation où les probabilités conditionnelles de changement d'état ne sont pas fixes.