Matrices stochastiques en lignes et en colonnes - Corrigé

Énoncé

1. Est-il possible de compléter la matrice suivante pour qu'elle soit stochastique en lignes et en colonnes ?
\(A=\begin{pmatrix}0,2&...&0,4\\...&0,5&...\\...&0,1&...\end{pmatrix}\)

2. Même question avec la matrice suivante :
\(B=\begin{pmatrix}0,3&...&0,4\\...&0,5&...\\0,3&0,1&...\end{pmatrix}\)       

3. Même question avec la matrice suivante :
\(C=\begin{pmatrix}...&0,5&...\\0,3&...&...\\0,1&0,1&...\end{pmatrix}\)  

Solution

1. Oui, c'est possible.
Voici par exemple deux solutions  \(A_1=\begin{pmatrix}0,2&0,4&0,4\\0,1&0,5&0,4\\0,7&0,1&0,2\end{pmatrix}\)  et  \(A_2=\begin{pmatrix}0,2&0,4&0,4\\0,2&0,5&0,3\\0,6&0,1&0,3\end{pmatrix}\) .

2. Non ce n'est pas possible. En effet, il faut  \(b_{21}=0,4\)  pour que la somme de la première colonne fasse  \(1\) , puis  \(b_{23}=0,1\)  pour que la somme de la deuxième ligne fasse  \(1\) .
On doit alors avoir  \(0,3+0,1+b _{33}=1\)  donc  \(b _{33}=0,6\) , mais alors  \(b _{13}+b _{23}+b _{33}=0,4+0,1+0,6=1,1\ne1\) .

3. Non ce n'est pas possible. La seule manière de compléter la première colonne est de prendre  \(c_{11}=0,6\) , ce qui impose  \(c_{13}=-0,1<0\) .