Théorème d'Euclide : une infinité de nombres premiers

Théorème d'Euclide

$\mathcal{P}$ est infini, autrement dit, il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration

Raisonnons par l'absurde, et supposons que $\mathcal{P}$ est fini.
Ainsi,  $\mathcal{P}$ possède un plus grand élément que l'on note $q$ .

On pose  $N=2\times 3\times 5\times ...\times q+1$ , c'est-à-dire que $N$ est le produit de tous les nombres premiers auquel on ajoute $1$ .

Comme $N⩾2$ , il existe un nombre premier $p$ divisant $N$ , c'est-à-dire que l'on a  $N=pk$   avec $k\in \mathbb{N}$ .

Comme $p$ est un nombre premier, il est nécessairement égal à l'un des facteurs du produit $2\times 3\times 5\times ...\times q$ (car tous les nombres premiers figurent dans ce produit).
On peut donc écrire  $N=p{k}^{\prime }+1$  avec $k^{\prime }\in \mathbb{N}$ .

En combinant ces deux expressions de $N$ , on obtient  $pk=p{k}^{\prime }+1$ , donc  $p(k-k^{\prime })=1$ ,
donc  $p$  divise  $1$  : c'est absurde, car $p⩾2$ .

On en déduit que $\mathcal{P}$ est infini.

Remarques

• Cette démonstration est celle d'Euclide lui-même. Dans ses Éléments, il énonçait : « Les nombres premiers sont plus nombreux que n'importe quelle multitude de nombres premiers proposée. »
  
• Le plus grand nombre premier connu à ce jour est $2^{82589933}-1$ .
  Il comporte 24 862 042 chiffres, et a été découvert le 7 décembre 2018 par Patrick Laroche.