Construction du pentagone régulier à la règle et au compas - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \((\text O;\vec{u},\vec{v})\) , on considère le point \(\text A\) d'affixe `1` . On souhaite construire le pentagone régulier \(\text {ABCDE}\) tel que \(\left(\overrightarrow{\text O\text A};\overrightarrow{\text O\text B}\right)=\dfrac{2\pi}{5}\) . Le point \(\text B\) a ainsi pour affixe \(\omega=\text e^{2i\frac{\pi}{5}}\) .

1. Montrer que \(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0\) .

2. Exprimer \(\omega^3\) et \(\omega^4\)  en fonction de \(\overline{\omega}\) .

On pose \(u=\omega+ \overline{\omega}\) .

3. a. Montrer que \(u\) est un nombre réel strictement positif.
    b. Exprimer \(u^2\) en fonction de \(\omega^2\) et \(\omega^3\) , puis en déduire une équation du second degré vérifiée par \(u\) .
    c. En déduire que \(\cos \left( \dfrac{2 \pi}{5} \right) = \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\) .

4. Proposer une construction à la règle et au compas du point \(B\) , puis tracer le pentagone régulier \(\text {ABCDE}\) .

Solution

1. On a \(\omega \neq 1\)  et \(\omega^5=1\) , donc \(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4 = \dfrac{1-\omega^5}{1-\omega} = \dfrac{1-1}{1-\omega} = 0\) .

2. Vu que  \(\omega \neq 0\) , on peut écrire :  \(\omega^3 = \dfrac{\omega^5}{\omega^2}= \dfrac{1}{\omega^2}= \dfrac{\overline{\omega^2}}{\omega^2 \overline{\omega^2}}= \dfrac{\overline{\omega^2}}{\left\vert \omega \right\vert^4}= \dfrac{\overline{\omega}^2}{1}= \overline{\omega}^2\)  
et \(\omega^4 = \dfrac{\omega^5}{\omega}= \dfrac{1}{\omega}= \dfrac{\overline{\omega}}{\omega \overline{\omega}}= \dfrac{\overline{\omega}}{\left\vert \omega \right\vert^2}= \dfrac{\overline{\omega}}{1}= \overline{\omega}\) .

3. a.  \(u = \omega + \overline{\omega} = 2 \text R\text e(\omega) = 2 \cos \left( \dfrac{2 \pi}{5} \right)\) donc \(u\) est un nombre réel. De plus, \(0 \leq \dfrac{\pi}{5} \leq \dfrac{\pi}{2}\) , donc \(u\) est un nombre réel strictement positif.

b. On a  \(u^2 = (\omega + \overline{\omega} )^2= \omega^2 + 2 \omega \overline{\omega} + \overline{\omega}^2= \omega^2 + 2 \left\vert \omega \right\vert^2 + \omega^3\)
donc \(u^2= \omega^2 + \omega^3 + 2= -1 - \omega - \omega^4 +2= 1 - ( \omega + \omega^4)= 1 - (\omega + \overline{\omega} )= 1-u\) .
donc \(u^2 = 1-u\) , c'est à dire \(u^2+u-1=0\) .
Donc \(u\) est solution de l'équation du second degré  \(x^2+x-1=0\) .

c. On trouve que les solutions de l’équation \(x^2+x-1=0\) sont \(x_1 = \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\)  
et \(x_2 = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\) .
Or \(x_1 <0\) , donc \(u=x_2\) .
Ainsi, \(2\cos \left( \dfrac{2 \pi}{5} \right) = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2},\)  donc \(\cos \left( \dfrac{2 \pi}{5} \right) = \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\) .

4. À la règle et au compas, on rappelle qu'on sait construire entre autres une droite perpendiculaire à une droite passant en un point donné, et la médiatrice d'un segment.
Le point \(\text B\) est le point du cercle trigonométrique qui a pour abscisse \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\) et une ordonnée strictement positive.
On cherche donc à construire un segment de longueur \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\) .
On commence par construire le triangle \(\text O\text L\text M\) rectangle en \(\text O\) tel que \(\text O\text L=2\) , \(\text O\text M=1\) . On a alors \(\text L\text M=\sqrt{5}\) .

Le point \(\text N\) est le point d'intersection du segment \([\text L\text M]\) avec le cercle de centre \(\text L\) et de rayon \(\text L\text P=1\) , où \(\text P\) est le milieu du segment \([\text O\text L]\) . On a donc \(\text L\text N=1\) , et ainsi \(\text M\text N = \sqrt{5}-1\) .

Il reste à couper ce segment en 4 segments de même longueur. On commence par construire la médiatrice du segment  \([\text M\text N]\) (on note \(\text Q\) le milieu de \([\text M\text N]\) ), puis on construit la médiatrice du segment \([\text M\text Q]\) (on note \(\text R\) le milieu de \([\text M\text Q]\) ).
On a donc \(\text M\text R = \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\) .

Il reste à reporter cette longueur avec le compas sur le segment \(\lbrack \text O\text A\rbrack\)  pour construire l'abscisse du point \(\text B\) , puis le point \(\text B\) .

Finalement, pour construire le pentagone, il suffit de construire l'autre point d'intersection du cercle de centre \(\text B\)  et de rayon \(\text A\text B\) avec le cercle trigonométrique, et poursuivre de manière analogue.