Les manuels libres - Mathématiques expertes

Histoire de l'arithmétique

Divisibilité dans Z

Ce que disent les programmes officiels : arithmétique

Rappels sur les ensembles de nombres entiers

Deux résultats utiles (et admis)

______
Cours

Divisibilité

______
Multiples et diviseurs

Définition : b divise a

Notations : aZ et D(a)

Multiples et diviseurs

Diviseurs de a et -a

Nombre de diviseurs

______
Propriétés de la divisibilité

Transmission de la divisibilité

Divisibilité réciproque

Division euclidienne

Théorème de la division euclidienne

Démonstration du théorème de la division euclidienne

☝ Les restes possibles dans une division euclidienne - Remarque

Écritures possibles d'un nombre et reste dans la division euclidienne

✎ Une célèbre dichotomie - Méthode

Division euclidienne et divisibilité

Congruence

______
Définitions

Définition d'une congruence

Définition équivalente d'une congruence

______
Propriétés

Relation d'équivalence

☝ Combien d'entiers sont congrus à a mod n ? - Remarque

Congruences et opérations

☝ Congruences et divisions - Remarque

______
Utilisation des congruences pour les questions de divisibilité

Congruence et divisibilité

☝ Tableaux de congruences - Remarque

______
Congruences et équations

Équations en congruences - Exemples

Notion d'inverse modulo un entier

☝ La règle du produit nul - Remarque

☆ Vers le supérieur

______
Exercices d'application

Divisibilité

______

✔ Vrai ou faux ? (1)

✔ Vrai ou faux ? (2)

______

Démonstration de divisibilité

7 divise-t-il n + 13 ?

3n - 2 divise-t-il 17 ?

8n + 6 peut-il être divisible par 4 ?

Récurrence et multiple

Diviseurs de 19

(2n + 5) divise-t-il (n-1) ?

______

Corrigés

✔ Vrai ou faux ? (1) - Corrigé

✔ Vrai ou faux ? (2) - Corrigé

Démonstration de divisibilité - Corrigé

7 divise-t-il n + 13 ? - Corrigé

3n - 2 divise-t-il 17 ? - Corrigé

8n + 6 peut-il être divisible par 4 ? - Corrigé

Récurrence et multiple - Corrigé

Diviseurs de 19 - Corrigé

(2n + 5) divise-t-il (n-1) ? - Corrigé

Division euclidienne

______

✔ Vrai ou faux ?

Division par 11

Nombres mystère et division euclidienne

Algèbre et divisibilité

Reste et algèbre

Une famille d'entiers pairs

Diviseurs et algèbre

______

Corrigés

✔ Vrai ou faux ? - Corrigé

Division par 11 - Corrigé

Nombres mystère et division euclidienne - Corrigé

Algèbre et divisibilité - Corrigé

Reste et algèbre - Corrigé

Une famille d'entiers pairs - Corrigé

Diviseurs et algèbre - Corrigé

Congruence

______

Deux critères de divisibilité par 4

Critère de divisibilité par 19

Congruences et puissance

Tableau de congruences et divisibilité par 3

Résolutions d'équations

Calculs d'inverses

______

Corrigés

✔ Vrai ou faux ? (1) - Corrigé

✔ Vrai ou faux ? (2) - Corrigé

______

Congruences modulo 8 - Corrigé

Numéro Insee - Corrigé

Jour de naissance - Corrigé

Division par 19 - Corrigé

Multiple de 7 - Corrigé

Divisibilité par 9 - Corrigé

Divisibilité par 13 - Corrigé

Divisibilité par 3 - Corrigé

Deux critères de divisibilité par 4 - Corrigé

Critère de divisibilité par 19 - Corrigé

Congruences et puissance - Corrigé

Tableau de congruences et divisibilité par 3 - Corrigé

Résolutions d'équations - Corrigé

Calculs d'inverses - Corrigé

______
Exercices d'entraînement

Divisibilité

Nombres parfaits

Nombre de multiples

Multiples de 7

Cinq entiers consécutifs

225 comme différence de deux carrés

Diviseurs dépendants

Jamais divisible par 13

Des multiples de 13 par récurrence

Récurrence et multiples de 4

Une différence multiple de 6

Avec une suite géométrique

Diviseurs de 28

Multiples symétriques de 19

n divise-t-il n + 22 ?

(n + 5) divise-t-il (n + 9) ?

(3n + 4) divise-t-il (n - 1) ?

______

Corrigés

Nombres parfaits - Corrigé

Nombre de multiples - Corrigé

Multiples de 7 - Corrigé

Cinq entiers consécutifs - Corrigé

225 comme différence de deux carrés - Corrigé

Diviseurs dépendants - Corrigé

Jamais divisible par 13 - Corrigé

Des multiples de 13 par récurrence - Corrigé

Récurrence et multiples de 4 - Corrigé

Une différence multiple de 6 - Corrigé

Avec une suite géométrique - Corrigé

Diviseurs de 28 - Corrigé

Multiples symétriques de 19 - Corrigé

n divise-t-il n + 22 ? - Corrigé

(n + 5) divise-t-il (n + 9) ? - Corrigé

(3n + 4) divise-t-il (n - 1) ? - Corrigé

Division euclidienne

Quelques divisions euclidiennes

Divisions euclidiennes par 11

Autour de la division euclidienne

Quotient et reste égaux

Divisions euclidiennes par 13

Le premier jour de l'année

Diviseur mystère

Division de (9n + 13) par (4n + 3)

Division de (3n - 1) par (n + 2)

Division de (n² + 1) par (n + 2)

Une famille d'entiers divisibles par 3

______

Corrigés

Quelques divisions euclidiennes - Corrigé

Divisions euclidiennes par 11 - Corrigé

Autour de la division euclidienne - Corrigé

Quotient et reste égaux - Corrigé

Divisions euclidiennes par 13 - Corrigé

Le premier jour de l'année - Corrigé

Diviseur mystère - Corrigé

Division de (9n + 13) par (4n + 3) - Corrigé

Division de (3n - 1) par (n + 2) - Corrigé

Division de (n² + 1) par (n + 2) - Corrigé

Une famille d'entiers divisibles par 3 - Corrigé

Congruence

Congruences modulo 9

Congruences et restes

Division euclidienne par 14

Une famille d'entiers divisibles par 6

Multiples de 29

Multiples de 15

Un multiple original de 5

Une famille d'entiers divisibles par 7

Une famille d'entiers divisibles par 6

Critère de divisibilité par 9

Critère de divisibilité par 7

Reste d'une division par 19

Chiffre des unités

Équations

______

Corrigé

Congruences modulo 9 - Corrigé

Congruences et restes - Corrigé

Division euclidienne par 14 - Corrigé

Une famille d'entiers divisibles par 6 - Corrigé

Multiples de 29 - Corrigé

Multiples de 15 - Corrigé

Un multiple original de 5 - Corrigé

Une famille d'entiers divisibles par 7 - Corrigé

Une famille d'entiers divisibles par 6 - Corrigé

Critère de divisibilité par 9 - Corrigé

Critère de divisibilité par 7 - Corrigé

Reste d'une division par 19 - Corrigé

Chiffre des unités - Corrigé

Équations - Corrigé

PGCD et nombres premiers entre eux

Deux résultats utiles (et admis)

______
Cours

Diviseurs communs et PGCD

______
Définition et premières propriétés

Notations : diviseurs et diviseurs communs

☝ Remarques sur les diviseurs

PGCD

Démonstration de l'existence du PGCD

Propriétés du PGCD

______
Algorithme d'Euclide pour la recherche du PGCD

Lemme d'Euclide

Algorithme d'Euclide

Calcul d'un PGCD avec l'algorithme d'Euclide - Exemple

☝ PGCD(a;b) ou PGCD(b;a) ? - Remarque

☝ Et pour des entiers négatifs ? - Remarque

______
Conséquences de l'algorithme d'Euclide

Diviseurs du PGCD

Homogénéité du PGCD

PGCD - Exemples

Nombres premiers entre eux

______
Définitions et propriété caractéristique du PGCD

Nombres premiers entre eux

Nombres premiers entre eux et nombres premiers - Attention !

Fraction irréductible

Propriété caractéristique du PGCD

☝ Simplification d'une fraction - Remarque

______
Théorème de Bézout

Théorème de Bézout

☝ Théorème de Bézout - Remarques

✎ Couple de Bézout avec la calculatrice - Méthode

✎ Couple de Bézout en « remontant » l'algorithme d'Euclide - Méthode

Notion d'inverse modulo un entier

Corollaire du théorème de Bézout

______
Théorème de Gauss

Théorème de Gauss

Corollaire du théorème de Gauss

Équations diophantiennes

______
Théorème de Bézout généralisé

Théorème de Bachet-Bézout

L'algorithme d'Euclide étendu - Vers le supérieur

______
Résolution d'équations diophantiennes

Équation diophantienne

Critère d'existence de solutions

☝ Interprétation géométrique - Remarque

✎ Résoudre une équation diophantienne - Méthode

Équation diophantienne - Exemple

______
Exercices d'application

Diviseurs communs et PGCD

PGCD et congruence

Dimensions de terrains rectangulaires

Diviseurs communs de 780 et 1665

Calcul d'un PGCD - Pour aller plus loin

______

Corrigés

PGCD et congruence - Corrigé

Dimensions de terrains rectangulaires - Corrigé

Diviseurs communs de 780 et 1665 - Corrigé

Calcul d'un PGCD - Pour aller plus loin - Corrigé

Nombres premiers entre eux

Entiers consécutifs premiers entre eux

Fraction d'entiers consécutifs

Une fraction irréductible

Recherche de couples d'entiers et PGCD

Couple de Bézout avec la calculatrice

Couple de Bézout en remontant l'algorithme d'Euclide

Condition pour que 3n + 8 et n + 4 soient premiers entre eux

Être ou ne pas être inversible modulo n

Calcul d'inverse modulo 21

Entiers tels que 8x = 15y

Famille d'entiers divisibles par 15

☆ Racine entière, irrationnelle ? - Vers le supérieur

______

Corrigés

Entiers consécutifs premiers entre eux - Corrigé

Fraction d'entiers consécutifs - Corrigé

Une fraction irréductible - Corrigé

Recherche de couples d'entiers et PGCD - Corrigé

Couple de Bézout avec la calculatrice - Corrigé

Couple de Bézout en remontant l'algorithme d'Euclide - Corrigé

Condition pour que 3n + 8 et n + 4 soient premiers entre eux - Corrigé

Être ou ne pas être inversible modulo n - Corrigé

Calcul d'inverse modulo 21 - Corrigé

Entiers tels que 8x = 15y - Corrigé

Famille d'entiers divisibles par 15 - Corrigé

☆ Racine entière, irrationnelle ? - Vers le supérieur - Corrigé

Équations diophantiennes

Couple de Bézout pour 200 et 116

Couple de Bézout pour 189 et 255

Ont-elles des solutions ?

Équation diophantienne 5x + 3y = 12

Équation diophantienne 29x - 11y = 5

Équation diophantienne 26x + 65y = 39

Points « entiers » sur une droite

______

Corrigés

Couple de Bézout pour 200 et 116 - Corrigé

Couple de Bézout pour 189 et 255 - Corrigé

Ont-elles des solutions ? - Corrigé

Équation diophantienne 5x + 3y = 12 - Corrigé

Équation diophantienne 29x - 11y = 5 - Corrigé

Équation diophantienne 26x + 65y = 39 - Corrigé

Points « entiers » sur une droite - Corrigé

______
Exercices d'entraînement

Diviseurs communs et PGCD

PGCD de 105 et 468 027

PGCD et algorithme d'Euclide

Ensemble des diviseurs communs

Un PGCD qui dépend de la parité

Trouver le diviseur

Bien répartir les bonbons

PGCD dépendant d'une variable

☆ PGCD égaux - Vers le supérieur

☆ Deux PGCD qui se divisent mutuellement - Vers le supérieur

______

Corrigés

Diviseurs communs et PGCD - Corrigé

PGCD de 105 et 468 027 - Corrigé

PGCD et algorithme d'Euclide - Corrigé

Ensemble des diviseurs communs - Corrigé

Un PGCD qui dépend de la parité - Corrigé

Trouver le diviseur - Corrigé

Bien répartir les bonbons - Corrigé

PGCD dépendant d'une variable - Corrigé

☆ PGCD égaux - Vers le supérieur- Corrigé

☆ Deux PGCD qui se divisent mutuellement - Vers le supérieur - Corrigé

Nombres premiers entre eux

Entiers dont la somme et le PGCD sont connus

Entier mystère et PGCD

Différence de deux carrés et PGCD

Premiers entre eux ou non ?

Fractions irréductibles ou non ?

Autour de nombres premiers entre eux

a² et b² premiers entre eux

Une suite particulière

Calculs d'inverses

Entiers tels que 23x = 13y

Entier mystère et théorème de Gauss

Famille d'entiers divisibles par 21

☆ Famille d'entiers divisibles par 30 - Vers le supérieur

Entiers mystères et congruences

La station de métro

Racine cubique entière, irrationnelle ?

☆ Irrationalité et trigonométrie - Vers le supérieur

Chiffrement de César

Chiffrement affine

Chiffrement de Vigenère

______

Corrigés

Entiers dont la somme et le PGCD sont connus - Corrigé

Entier mystère et PGCD - Corrigé

Différence de deux carrés et PGCD - Corrigé

Entiers premiers entre eux ou non ? - Corrigé

Fractions irréductibles ou non ? - Corrigé

Autour de nombres premiers entre eux - Corrigé

a² et b² premiers entre eux - Corrigé

Une suite particulière - Corrigé

Calculs d'inverses - Corrigé

Entiers tels que 23x = 13y - Corrigé

Entier mystère et théorème de Gauss - Corrigé

Famille d'entiers divisibles par 21 - Corrigé

☆ Famille d'entiers divisibles par 30 - Vers le supérieur - Corrigé

Entiers mystères et congruences - Corrigé

La station de métro - Corrigé

Racine cubique entière, irrationnelle ? - Corrigé

☆ Irrationalité et trigonométrie - Vers le supérieur - Corrigé

Chiffrement de César - Corrigé

Chiffrement affine - Corrigé

Chiffrement de Vigenère - Corrigé

Équations diophantiennes

Y a-t-il une solution ?

Équation diophantienne 50x + 9y = 1

Équation diophantienne 2x + 7y = 3

Équation diophantienne 144x - 169y = 2

Points à coordonnées entières

Droite et points « entiers »

L'avant-première

Intersection de deux plans

Les corps célestes

Équation diophantienne et divisions euclidiennes

Bandes dessinées

Système de congruences

Le nouveau stade

______

Corrigés

Y a-t-il une solution ? - Corrigé

Équation diophantienne 50x+9y = 1 - Corrigé

Équation diophantienne 2x + 7y = 3 - Corrigé

Équation diophantienne 144x - 169y = 2 - Corrigé

Points à coordonnées entières - Corrigé

Droite et points « entiers » - Corrigé

L'avant-première - Corrigé

Intersection de deux plans - Corrigé

Les corps célestes - Corrigé

Équation diophantienne et divisions euclidiennes - Corrigé

Bandes dessinées - Corrigé

Système de congruences - Corrigé

Le nouveau stade - Corrigé

Nombres premiers

Deux résultats utiles (et admis)

______
Cours

Généralités sur les nombres premiers

______
Définitions

Nombre premier

Nombres premiers - Exemples

Diviseurs des puissances d'un nombre premier

______
Un test de primalité

Existence d'un diviseur premier

☝ Un test de primalité - Remarque

Un test de primalité - Exemples

☝ L'utilité de ce test de primalité - Remarque

______

Théorème d'Euclide : une infinité de nombres premiers

Divisibilité et nombres premiers

______
Nombres premiers et nombres premiers entre eux

p divise n ou PGCD(p;n)=1

Nombres premiers avec des nombres premiers

☝ Ne pas confondre ! - Remarque

______
Nombres premiers et théorème de Gauss

Si p divise ab, alors p divise a ou b

Nombres premiers divisant un produit

Puissances d'un nombre premier et divisibilité

Décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers

______
Théorème fondamental de l'arithmétique

Théorème fondamental de l'arithmétique

Théorème fondamental : existence

Théorème fondamental : unicité

☝ Théorème fondamental de l'arithmétique - Remarque

✎ Décomposer en facteurs premiers - Méthode

______
Application aux diviseurs

Nombre de diviseurs et liste des diviseurs

✎ Établir la liste des diviseurs d'un entier - Méthode

______
Application au PGCD

Décomposition en facteurs premiers et PGCD

✎ Calcul du PGCD - Remarque

Deux théorèmes de Fermat

______
Petit théorème de Fermat

Petit théorème de Fermat (forme forte)

☝ Un test de « non-primalité » - Remarque

☝ La réciproque est fausse - Remarque

Petit théorème de Fermat (forme faible)

☝ Forme forte et forte faible - Remarque

______
Application au système cryptographique RSA

Algorithmes de codage à clé publique

Le système RSA

Fidélité du système RSA

☝ Sécurité du système RSA - Remarque

______
Théorème de Fermat-Wiles

Théorème de Fermat-Wiles

☝ Théorème de Fermat-Wiles : cas particuliers - Remarque

______
Exercices d'application

Généralités sur les nombres premiers

Crible d'Ératosthène

Parabole de Matiiassevitch

Nombres de Mersenne

______

Corrigés

Crible d'Ératosthène - Corrigé

Parabole de Matiiassevitch - Corrigé

Nombres de Mersenne - Corrigé

Divisibilité et nombres premiers

Racine de p irrationnelle

Transmission de divisibilité

Divisibilité des puissances

______

Corrigés

Racine de p irrationnelle - Corrigé

Transmission de divisibilité - Corrigé

Divisibilité des puissances - Corrigé

Décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers

Décomposer en facteurs premiers

Simplifier des racines carrées

Simplifier des fractions

Plus petit multiple « carré »

Diviseurs de 693

Plus petit entier ayant 18 diviseurs

Nombre premier mystère

Calculs de PGCD

PGCD de 24 et 84

______

Corrigés

Décomposer en facteurs premiers - Corrigé

Simplifier des racines carrées - Corrigé

Simplifier des fractions - Corrigé

Plus petit multiple « carré » - Corrigé

Diviseurs de 693 - Corrigé

Plus petit entier ayant 18 diviseurs - Corrigé

Nombre premier mystère - Corrigé

Calculs de PGCD - Corrigé

PGCD de 24 et 84 - Corrigé

Deux théorèmes de Fermat

Divisibilité par 22

Exemple de codage RSA

Preuve de la fidélité du système RSA

Le RSA en pratique

______

Corrigés

Divisibilité par 22 - Corrigé

Exemple de codage RSA - Corrigé

Preuve de la fidélité du système RSA - Corrigé

Le RSA en pratique - Corrigé

______
Exercices d'entraînement

Généralités sur les nombres premiers

« Premier » anniversaire

Être ou ne pas être premier

Différence entre deux nombres premiers

Somme non première

31p + 1 est-il carré ?

n² + 6n - 16 est-il premier ?

n² + 3n - 18 est-il premier ?

Autour de 241

Nombres premiers et Pythagore

p² + 7 est-il divisible par 8 ?

Des nombres pas premiers

Différences de puissances

Nombres de Fermat

______

Corrigés

« Premier » anniversaire - Corrigé

Être ou ne pas être premier - Corrigé

Différence entre deux nombres premiers - Corrigé

Somme non première - Corrigé

31p + 1 est-il carré ? - Corrigé

n² + 6n - 16 est-il premier ? - Corrigé

n² + 3n - 18 est-il premier ? - Corrigé

Autour de 241 - Corrigé

Nombres premiers et Pythagore - Corrigé

p² + 7 est-il divisible par 8 ? - Corrigé

Des nombres pas premiers - Corrigé

Différences de puissances - Corrigé

Nombres de Fermat - Corrigé

Divisibilité et nombres premiers

Divisibilité par 7 puissance 9

Racine cubique de p irrationnelle

Divisibilité par 24

Divisibilité par 240

Pas la somme de deux nombres premiers

À propos de triplets pythagoriciens

Nombres de Fermat et infinité des nombres premiers

______

Corrigés

Divisibilité par 7 puissance 9 - Corrigé

Racine cubique de p irrationnelle - Corrigé

Divisibilité par 24 - Corrigé

Divisibilité par 240 - Corrigé

Pas la somme de deux nombres premiers - Corrigé

À propos de triplets pythagoriciens

Nombres de Fermat et infinité des nombres premiers - Corrigé

Décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers

Décomposer en facteurs premiers

Fractions irréductibles

Simplifier des racines carrées

Nombre mystère et diviseurs premiers

Plus petit carré multiple de 7 875

Plus petit cube multiple de 968

Couple d'entiers mystère et facteurs premiers

Une infinité de nombres premiers de la forme 4n + 3

Une infinité de nombres premiers de la forme 6n + 5

Divisibilité et facteurs premiers

Quotient mystère et facteurs premiers

Huit diviseurs avec facteurs 3 et 5

Équation d'entiers et diviseurs

Nombre de diviseurs

Diviseurs de 1 547

Diviseurs de 1 197

Cube parfait et facteurs premiers

Produit carré parfait

Nombres mystères avec facteurs 2 et 3

Nombres mystères avec facteurs 3 et 7

Calculs de PGCD

______

Corrigés

Décomposer en facteurs premiers - Corrigé

Fractions irréductibles - Corrigé

Simplifier des racines carrées - Corrigé

Nombre mystère et diviseurs premiers - Corrigé

Plus petit carré multiple de 7 875 - Corrigé

Plus petit cube multiple de 968 - Corrigé

Couple d'entiers mystère et facteurs premiers - Corrigé

Une infinité de nombres premiers de la forme 4n + 3 - Corrigé

Une infinité de nombres premiers de la forme 6n + 5 - Corrigé

Divisibilité et facteurs premiers - Corrigé

Quotient mystère et facteurs premiers - Corrigé

Huit diviseurs avec facteurs 3 et 5 - Corrigé

Équation d'entiers et diviseurs - Corrigé

Nombre de diviseurs - Corrigé

Diviseurs de 1 547 - Corrigé

Diviseurs de 1 197 - Corrigé

Cube parfait et facteurs premiers - Corrigé

Produit carré parfait - Corrigé

Nombres mystères avec facteurs 2 et 3 - Corrigé

Nombres mystères avec facteurs 3 et 7 - Corrigé

Calculs de PGCD - Corrigé

Deux théorèmes de Fermat

Divisibilité par 21

Diviseurs premiers

Somme de puissances de 3

Divisibilité par 182

À propos d'une puissance trente-septième

Famille d'entiers divisibles par 38

Reste dans une division par p premier

Petit théorème de Fermat par récurrence

______

Corrigés

Divisibilité par 21- Corrigé

Diviseurs premiers - Corrigé

Somme de puissances de 3 - Corrigé

Divisibilité par 182 - Corrigé

À propos d'une puissance trente-septième - Corrigé

Famille d'entiers divisibles par 38 - Corrigé

Reste dans une division par p premier - Corrigé

Petit théorème de Fermat par récurrence - Corrigé

Histoire des complexes

Ce que disent les programmes officiels : histoire et complexes

Les complexes et Cardan

Les complexes et Bombelli

Les complexes et Descartes

Les complexes et Gauss

Les complexes et Euler

Les complexes et quelques dates

Une formule étrange

Nombres complexes - Point de vue algébrique

Ce que disent les programmes officiels : complexes et algèbre

______
Activités introductives

Des équations - Activité 1

Des équations

Des équations - Corrigé

Équations du troisième degré - Activité 2

Équation du troisième degré

Équation du troisième degré - Corrigé

______
Cours

Ensemble des nombres complexes

______
Définitions

Un nouvel ensemble de nombres

Forme algébrique, partie réelle, partie imaginaire

______
Somme et produit de deux nombres complexes

Somme de deux complexes

Produit de deux complexes

______
Égalité de deux nombres complexes

☝ Unicité de la forme algébrique - Remarque

Égalité de deux complexes

______
Inverse et quotient de deux nombres complexes

Identité remarquable

Inversion d'un complexe non nul

✎ Pour inverser ou diviser - Méthode

______
Racines carrées complexes d'un nombre réel

Racine carrée complexe

Racines carrées - Démonstration

Conjugaison et propriétés algébriques

______
Conjugué d'un nombre complexe

Conjugaison

Propriétés de la conjugaison

Conjugaison et opérations

______
Nombres réels et nombres imaginaires purs

Imaginaire pur

Caractérisation des nombres réels

Caractérisation des imaginaires purs

Équations dans C

Équation polynomiale du premier degré dans C

✎ Résolution d'une équation - Méthode

☝ Résolution d'une équation dans C - Remarque

☝ Et les inéquations ? - Remarque

Discriminant

______
Exercices d'application

Ensemble des nombres complexes

✔ Vrai ou faux ?

______

Partie réelle, partie imaginaire

Écrire sous forme algébrique avec une addition

Écrire sous forme algébrique avec une multiplication

Égalité de deux complexes

Inversion et division

Racines carrées

______

Corrigés

✔ Vrai ou faux ? - Corrigé

Partie réelle, partie imaginaire - Corrigé

Écrire sous forme algébrique avec une addition - Corrigé

Écrire sous forme algébrique avec une multiplication - Corrigé

Égalité de deux complexes - Corrigé

Inversion et division - Corrigé

Racines carrées - Corrigé

Conjugaison et propriétés algébriques

Nombre réel

Imaginaire pur

______

Corrigés

Nombre réel - Corrigé

Imaginaire pur - Corrigé

Équations dans C

Équations polynomiales du second degré

______

Corrigés

Équations dans C - Corrigé

Équations polynomiales du second degré - Corrigé

______
Exercices d'entraînement

Ensemble des nombres complexes

Conjugaison et propriétés algébriques

Forme algébrique du conjugué

Racine cubique de l'unité

Somme d'un complexe et de son conjugué

Réels ou imaginaires purs ?

Équations du premier degré

Résolution de systèmes

Équations diverses avec z et son conjugué

☆ Équations plus « complexes » - Vers le supérieur

☆ Équations encore plus complexes - Vers le supérieur

______

Corrigés

Forme algébrique du conjugué - Corrigé

Racine cubique de l'unité - Corrigé

Somme d'un complexe et de son conjugué - Corrigé

Réels ou imaginaires purs ? - Corrigé

Équations du premier degré - Corrigé

Résolution de systèmes - Corrigé

Équations diverses avec z et son conjugué - Corrigé

☆ Équations plus « complexes » - Vers le supérieur - Corrigé

☆ Équations encore plus complexes - Vers le supérieur - Corrigé

Équations dans C

Calcul de conjugués

Forme algébrique

Partie réelle, partie imaginaire

Réel, imaginaire pur (1)

Réel

Réel, imaginaire pur (2)

Imaginaire pur

Équivalence et relations complexes

Équations avec z et son conjugué (1)

Équation avec z et son conjugué (2)

Une équation du second degré

Équations du second degré (1)

Équations du second degré (2)

Équations de degré supérieur à 2

Équations et homographies

Équation du troisième degré

Équation du quatrième degré (1)

Équation du quatrième degré (2)

Résoudre une équation dans C (1)

Résoudre une équation dans C (2)

Résoudre une équation non polynomiale dans C

Résoudre une équation de degré 3 dans C

Résoudre une équation bicarrée dans C

Résoudre une équation de degré 4 dans C

______

Corrigés

Résoudre une équation dans C (1) - Corrigé

Résoudre une équation dans C (2) - Corrigé

Équations dans C (1) - Corrigé

Équations dans C (2) - Corrigé

Équations dans C (3) - Corrigé

Équations dans C (4) - Corrigé

Équations dans C (5) - Corrigé

Résoudre une équation non polynomiale dans C - Corrigé

Résoudre une équation de degré 3 dans C - Corrigé

Résoudre une équation bicarrée dans C - Corrigé

Résoudre une équation de degré 4 dans C - Corrigé

Calcul de conjugués - Corrigé

Forme algébrique - Corrigé

Partie réelle, partie imaginaire - Corrigé

Réel, imaginaire pur (1) - Corrigé

Réel - Corrigé

Réel, imaginaire pur (2) - Corrigé

Imaginaire pur - Corrigé

Équivalence et relations complexes - Corrigé

Équations avec z et son conjugué (1) - Corrigé

Équation avec z et son conjugué (2) - Corrigé

Une équation du second degré - Corrigé

Équations du second degré (1) - Corrigé

Équations du second degré (2) - Corrigé

Équations de degré supérieur à 2 - Corrigé

Équations et homographies - Corrigé

Équation du troisième degré - Corrigé

Équation du quatrième degré (1) - Corrigé

Équation du quatrième degré (2) - Corrigé

Résoudre une équation dans C (1) - Corrigé

Résoudre une équation dans C (2) - Corrigé

Équations dans C (1) - Corrigé

Équations dans C (2) - Corrigé

Équations dans C (3) - Corrigé

Équations dans C (4) - Corrigé

Équations dans C (5) - Corrigé

Résoudre une équation non polynomiale dans C - Corrigé

Résoudre une équation de degré 3 dans C - Corrigé

Résoudre une équation bicarrée dans C - Corrigé

Résoudre une équation de degré 4 dans C - Corrigé

Nombres complexes - Point de vue géométrique

Ce que disent les programmes officiels : complexes et géométrie

Notation pour le chapitre

______
Cours

Rappels de trigonométrie

Cercle trigonométrique, mesure en radians

Mesure principale d'un angle

Angles associés

Valeurs remarquables des cosinus et des sinus

✎ Calcul de cosinus et de sinus - Méthode

Équations trigonométriques

Représentation géométrique des nombres complexes

______
Le plan complexe

✎ Point de vue géométrique

Plan complexe

☝ Axe réel, axe imaginaire - Remarque

Coordonnées du conjugué

Affixe du milieu d'un segment

☝ Point de vue géométrique - Remarque

______
Vecteurs dans le plan complexe

Affixe d'un vecteur

Affixe et opérations sur les vecteurs

Affixe d'un point et translation

☝ Transformation géométriques - Remarque

Module et arguments d'un nombre complexe

______
Module d'un nombre complexe

Module d'un nombre complexe

☝ Module d'un nombre complexe - Remarques

Interprétation géométrique du module

Propriétés du module

______
Ensemble des nombres complexes de module 1

Nombres complexes de module 1, interprétation géométrique

Écriture d'un nombre complexe de module 1

______
Arguments d'un nombre complexe

Arguments d'un nombre complexe

☝ Arguments - Remarques et notations

Interprétation géométrique de l'argument

Argument et angle

Argument d'un nombre réel ou imaginaire pur

______
Propriétés algébriques du module et des arguments

Arguments et module de l'opposé et du conjugué

Propriétés algébriques du module

Propriétés algébriques de l'argument

Propriétés de l'ensemble des nombres complexes de module 1

Inégalité triangulaire

☝ Inégalité triangulaire - Remarque

☝ Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire - Remarque

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Forme trigonométrique

Écriture sous forme trigonométrique

✎ Déterminer une forme trigonométrique - Méthode

✎ Passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique - Méthode

✎ Forme algébrique et forme trigonométrique

☝ Choix de la forme selon les opérations à effectuer - Remarques

Forme trigonométrique et égalité de nombres complexes

☝ Placer des points à partir du module et de l'argument - Remarque

______
Exercices d'application

Rappels de trigonométrie

Calcul de cosinus et de sinus

Déterminer si des réels sont associés au même point du cercle trigonométrique

Résolutions d'équations trigonométriques (1)

Résolutions d'équations trigonométriques (2)

______

Corrigés

Calcul de cosinus et de sinus - Corrigé

Déterminer si des réels sont associés au même point du cercle trigonométrique - Corrigé

Résolutions d'équations trigonométriques (1) - Corrigé

Résolutions d'équations trigonométriques (2) - Corrigé

Représentation géométrique des nombres complexes

✔ Vrai ou faux?

✔ Vrai ou faux ?

Plan complexe

Coordonnées du conjugué

Affixe du milieu d'un segment

Affixe d'un vecteur

Affixe d'un point et translation

______

Corrigés

✔ Vrai ou faux ? - Corrigé

Plan complexe - Corrigé

Coordonnées du conjugué - Corrigé

Affixe du milieu d'un segment - Corrigé

Affixe d'un vecteur - Corrigé

Affixe d'un point et translation - Corrigé

Module et arguments d'un nombre complexe

Argument et angle

Module d'un nombre complexe

Calculs d'arguments

Application des propriétés algébriques pour le calcul de modules

Application des propriétés algébriques pour le calcul d'un argument

______

Corrigés

Argument et angle - Corrigé

Module d'un nombre complexe - Corrigé

Calculs d'arguments - Corrigé

Application des propriétés algébriques pour le calcul de modules - Corrigé

Application des propriétés algébriques pour le calcul d'un argument - Corrigé

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Calcul de cosinus et de sinus

Calcul de puissance

Recherche de racines

Placer des points à partir du module et de l'argument

Déterminer la forme algébrique depuis la forme trigonométrique

Formes trigonométriques

______

Corrigés

Calcul de cosinus et de sinus - Corrigé

Calcul de puissance - Corrigé

Recherche de racines - Corrigé

Placer des points à partir du module et de l'argument - Corrigé

Déterminer la forme algébrique depuis la forme trigonométrique - Corrigé

Formes trigonométriques - Corrigé

______
Exercices d'entraînement

Représentation géométrique des nombres complexes

Placer des points d'affixe donnée

Calcul d'affixe, symétrie

Calcul d'affixe, parallélogramme

Calcul d'affixe, opérations

______

Corrigés

Placer des points d'affixe donnée - Corrigé

Calcul d'affixe, symétrie - Corrigé

Calcul d'affixe, parallélogramme - Corrigé

Calcul d'affixe, opérations - Corrigé

Module et arguments d'un nombre complexe

Module d'un nombre complexe

Complexes de module 1

Complexe encore plus complexe de module 1

Relations d'appartenance équivalentes (1)

Calcul de l'affixe d'un vecteur

Lecture graphique d'arguments et de modules

Relations d'appartenance équivalentes (2)

Arguments et opérations

Modules, arguments et opérations

Module et argument (1)

Module et argument (2)

______

Corrigés

Module d'un nombre complexe - Corrigé

Complexes de module 1 - Corrigé

Arguments - Corrigé

Plan complexe - Corrigé

Encore des modules - Corrigé

Complexe de module 1 - Corrigé

Complexe encore plus complexe de module 1 - Corrigé

Relations d'appartenance équivalentes (1) - Corrigé

Calcul de l'affixe d'un vecteur - Corrigé

Lecture graphique d'arguments et de modules - Corrigé

Relations d'appartenance équivalentes (2) - Corrigé

Arguments et opérations - Corrigé

Modules, arguments et opérations - Corrigé

Module et argument (1) - Corrigé

Module et argument (2) - Corrigé

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Déterminer une forme trigonométrique

Est-ce une forme trigonométrique ?

Forme algébrique à partir de la forme trigonométrique

Forme algébrique à partir d'un module et d'un argument

Placer des points à partir d'un module et d'un argument

Équations (1)

Équations (2)

Calcul de puissances

Déterminer la valeur de cos pi/12

Déterminer la valeur de cos pi/8

Puissance n-ième de 1 + i

Puissance n-ième

______

Corrigés

Déterminer une forme trigonométrique - Corrigé

Est-ce une forme trigonométrique ? - Corrigé

Forme algébrique à partir de la forme trigonométrique - Corrigé

Forme algébrique à partir d'un module et d'un argument - Corrigé

Placer des points à partir d'un module et d'un argument - Corrigé

Équations (1) - Corrigé

Équation (2) - Corrigé

Calcul de puissances - Corrigé

Déterminer la valeur de cos pi/12 - Corrigé

Déterminer la valeur de cos pi/8 - Corrigé

Puissance n-ième de 1+i - Corrigé

Puissance n-ième - Corrigé

Nombres complexes et géométrie

Notation pour le chapitre

______
Cours

Propriétés géométriques du module et des arguments

Nombres complexes et angles

✎ Nombres complexes et distances - Méthode

Affixe et coordonnées - Rappel

Affixe d'un vecteur

Norme de vecteur - Module de complexe

Arguments et angle

Module d'un quotient

Argument d'un quotient

Utilisation des nombres complexes en géométrie

Nombres complexes et géométrie - Rappel

✎ Montrer l'alignement de trois points - Méthode

✎ Montrer que deux droites sont perpendiculaires - Méthode

✎ Déterminer la nature d'un triangle - Méthode

Nombres complexes et triangle isocèle - Exemple

Nombres complexes et triangle équilatéral - Exemple

Nombres complexes et triangle rectangle isocèle - Exemple

Nombres complexes et triangle rectangle

Problèmes de lieux géométriques

Lieu géométrique

☝ Lieu géométrique et nombres complexes - Remarque

Racines de l'unité

______
Racines n-ièmes de l'unité

Racines n-ièmes de l'unité - Définition

Les racines n-ièmes de l'unité

Notation

______
Polygones réguliers

Polygone régulier - Définition

Les polygones réguliers

Polygones réguliers - Exemples

______
Exercices d'application

Propriétés géométriques du module et des arguments

Affixe

Nombres complexes et angles (1)

Nombres complexes et angles (2)

______

Corrigés

Affixe - Corrigé

Nombres complexes et angles (1) - Corrigé

Nombres complexes et angles (2) - Corrigé

Utilisation des nombres complexes en géométrie

Points alignés

Droites perpendiculaires

Nature d'un triangle (1)

Nature d'un triangle (2)

______

Corrigés

Points alignés - Corrigé

Droites perpendiculaires - Corrigé

Nature d'un triangle (1) - Corrigé

Nature d'un triangle (2) - Corrigé

Problèmes de lieux géométriques

Lieu géométrique et nombres complexes (1)

Lieu géométrique et nombres complexes (2)

Lieu géométrique et nombres complexes (3)

______

Corrigés

Lieu géométrique et nombres complexes (1) - Corrigé

Lieu géométrique et nombres complexes (2) - Corrigé

Lieu géométrique et nombres complexes (3) - Corrigé

Racines de l'unité

Équations

Octogone

______

Corrigés

Équations - Corrigé

Octogone - Corrigé

______
Exercice d'entraînement

Propriétés géométriques du module et des arguments

______

Corrigés

Parallélogramme (1) - Corrigé

Vecteurs colinéaires - Corrigé

Parallélogramme (2) - Corrigé

Calculs de distances - Corrigé

Calculs d'angles - Corrigé

Points sur un cercle - Corrigé

Utilisation des nombres complexes en géométrie

Points alignés ?

Droites perpendiculaires ? (1)

Droites perpendiculaires ? (2)

Nature d'un triangle (1)

Nature d'un triangle (2)

Études de configurations géométriques

Nature d'un quadrilatère (1)

Triangle rectangle

Nature d'un triangle

Triangle équilatéral

Nature d'un quadrilatère (2)

Nature d'un quadrilatère (3)

Suite et points alignés

Milieu et points alignés

______

Corrigés

Études de configurations géométriques - Corrigé

Points alignés ? - Corrigé

Droites perpendiculaires ? (1) - Corrigé

Droites perpendiculaires ? (2) - Corrigé

Nature d'un triangle (1) - Corrigé

Nature d'un triangle (2) - Corrigé

Nature d'un quadrilatère (1) - Corrigé

Triangle rectangle - Corrigé

Nature d'un triangle - Corrigé

Triangle équilatéral - Corrigé

Nature d'un quadrilatère (2) - Corrigé

Nature d'un quadrilatère (3) - Corrigé

Suite et points alignés - Corrigé

Milieu et points alignés - Corrigé

Racines de l'unité

Affixes et heptagone

Racines de l'unité et polygones

Équations (1)

Équations (2)

Somme et produit de racines de l'unité

Générer l'ensemble des racines de l'unité

Construction du pentagone régulier à la règle et au compas

______

Corrigés

Affixes et heptagone - Corrigé

Racines de l'unité et polygones - Corrigé

Équations (1) - Corrigé

Équations (2) - Corrigé

Somme et produit de racines de l'unité - Corrigé

Générer l'ensemble des racines de l'unité - Corrigé

Construction du pentagone régulier à la règle et au compas - Corrigé

Nombres complexes et trigonométrie

Ce que disent les programmes officiels : complexes et trigonométrie

______
Cours

Formules de trigonométrie

D'autres angles associés

Formules d'addition

Formules de duplication

Transformations de produits en sommes

Forme exponentielle d'un nombre complexe

Exponentielle complexe

☝ Exponentielle et dérivée - Remarque

Module et arguments de l'exponentielle complexe

Conjugué d'une exponentielle complexe

Propriétés algébriques

Définition de la forme exponentielle d'un nombre complexe

✎ Mettre un nombre complexe sous forme exponentielle - Méthode

Forme exponentielle, module et arguments

Cas d'égalité de deux nombres complexes

Racine n-ième

✎ Déterminer des racines n-ième - Méthode

Utilisation des nombres complexes en trigonométrie

______
Aparté : formule du binôme de Newton

Formule du binôme de Newton

Triangle de Pascal

______
Formule de Moivre

Formule de Moivre

Application de la formule de Moivre

______
Formules d'Euler

Formules d'Euler

Linéariser un produit

✎ Linéarisation d'un polynôme trigonométrique - Méthode

______
Exercices d'application

Formules de trigonométrie

✔ Vrai ou faux ? Trigonométrie

Formules d'addition

D'autres angles associés

______

Corrigés

✔ Vrai ou faux ? Ttrigonométrie - Corrigé

Formules d'addition - Corrigé

D'autres angles associés - Corrigé

Forme exponentielle d'un nombre complexe

✔ Vrai ou faux ? (1)

✔ Vrai ou faux ? (2)

______

Simplification d'écritures

Forme exponentielle, module et arguments

Forme exponentielle

Des formes exponentielles

Formes algébriques

Forme exponentielle et puissance

Complexe et puissance

Racine n-ième (1)

Racine n-ième (2)

Calcul de cos(11pi/12) et sin(11pi/12)

______

Corrigés

✔ Vrai ou faux ? (1) - Corrigé

✔ Vrai ou faux ? (2) - Corrigé

Simplification d'écritures - Corrigé

Forme exponentielle, module et arguments - Corrigé

Forme exponentielle - Corrigé

Des formes exponentielles - Corrigé

Formes algébriques - Corrigé

Forme exponentielle et puissance - Corrigé

Complexe et puissance - Corrigé

Racine n-ième (1) - Corrigé

Racine n-ième (2) - Corrigé

Calcul de cos(11pi/12) et sin(11pi/12) - Corrigé

Utilisation des nombres complexes en trigonométrie

✔ Vrai ou faux ?

______

Linéarisation d'un polynôme trigonométrique

Linéariser un produit

Application des formules d'Euler

Formules de Simpson

Calcul de sommes complexes

______

Corrigés

✔ Vrai ou faux ? - Corrigé

Linéarisation d'un polynôme trigonométrique - Corrigé

Linéariser un produit - Corrigé

Application des formules d'Euler - Corrigé

Formules de Simpson - Corrigé

Calcul de sommes complexes - Corrigé

______
Exercices d'entraînement

Formules de trigonométrie

Calcul de valeurs de cos et sin

Utilisation des formules de duplication

Encore les formules de duplication

Équations trigonométriques

______

Corrigés

Calcul de valeurs de cos et sin - Corrigé

Utilisation des formules de duplication - Corrigé

Encore les formules de duplication - Corrigé

Équations trigonométriques - Corrigé

Forme exponentielle d'un nombre complexe

Forme exponentielle de l'affixe de points

Simplifications

Formes exponentielles (1)

Formes exponentielles (2)

Formes exponentielles (3)

Formes exponentielles (4)

Forme exponentielle

Module et argument

Point image

Forme trigonométrique, forme algébrique

Forme exponentielle, forme algébrique

Forme algébrique d'une puissance

Racines carrées d'un complexe (1)

Racines carrées d'un complexe (2)

Racines quatrièmes d'un complexe

Cosinus et sinus de 5pi/12

Réel, imaginaire pur

______

Corrigés

Simplifications - Corrigé

Forme exponentielle de l'affixe de points - Corrigé

Formes exponentielles (4) - Corrigé

Formes exponentielles (1) - Corrigé

Formes exponentielles (2) - Corrigé

Formes exponentielles (3) - Corrigé

Forme exponentielle - Corrigé

Module et argument - Corrigé

Point image - Corrigé

Forme trigonométrique, forme algébrique - Corrigé

Forme exponentielle, forme algébrique - Corrigé

Forme algébrique d'une puissance - Corrigé

Racines carrées d'un complexe (1) - Corrigé

Racines carrées d'un complexe (2) - Corrigé

Racines quatrièmes d'un complexe - Corrigé

Cosinus et sinus de 5pi/12 - Corrigé

Réel, imaginaire pur - Corrigé

Utilisation des nombres complexes en trigonométrie

Équations polynomiales

______
Cours

Fonction polynôme

Fonction polynôme de degré n

Équations polynomiales et racines

Factorisation de polynômes

Polynôme factorisable par z-z0

Factorisation de z^n - a^n

Factorisation d'un polynôme avec une racine

✎ Déterminer les coefficients du polynôme Q qui divise P - Méthode

Nombre de racines d'un polynôme

✎ Résoudre une équation polynomiale - Méthode

______
Exercices

Exercices d’application

Fonction polynôme de degré n

Équations et racine

z-a divise P

Factorisation de z^n -1

Nombre de solutions d'une équation polynomiale

Factorisation d'un polynôme (1)

Factorisation d'un polynôme (2)

Solution « évidente » d'une équation

______

Corrigés

Fonction polynôme de degré n - Corrigé

Équations et racine - Corrigé

z-a divise P - Corrigé

Factorisation de z^n -1 - Corrigé

Nombre de solutions d'une équation polynomiale - Corrigé

Factorisation d'un polynôme (1) - Corrigé

Factorisation d'un polynôme (2) - Corrigé

Solution « évidente » d'une équation - Corrigé

Exercices d’entraînement

Racine et factorisation d'un polynôme (1)

Racine et factorisation d'un polynôme (2)

Racine et factorisation d'un polynôme (3)

Équation polynômiale (1)

Équation polynômiale (2)

Racine et factorisation d'un polynôme (4)

Racine d'un polynôme et géométrie

Équation polynômiale (3)

Factorisation d'un polynôme

Factorisation d'un polynôme (2)

Équation

Équation polynômiale (4)

Équation polynômiale (5)

______

Corrigés

Racine et factorisation d'un polynôme (1) - Corrigé

Racine et factorisation d'un polynôme (2) - Corrigé

Racine et factorisation d'un polynôme (3) - Corrigé

Équation polynômiale (1) - Corrigé

Équation polynômiale (2) - Corrigé

Racine et factorisation d'un polynôme (4) - Corrigé

Racine d'un polynôme et géométrie - Corrigé

Factorisation d'un polynôme - Corrigé

Factorisation d'un polynôme (2) - Corrigé

Équation - Corrigé

Équation polynômiale (4) - Corrigé

Équation polynômiale (5) - Corrigé

Équation polynômiale (3) - Corrigé

☆ Exercices vers le supérieur

Interpolation de Lagrange

Racines carrées d'un nombre complexe

______

Corrigés

Interpolation de Lagrange - Corrigé

Racines carrées d'un nombre complexe - Corrigé

Histoire des graphes et des matrices

______
Histoire des matrices

Ce que disent les programmes officiels : histoire et matrices

Les matrices : quelques dates

Carrés magiques

Emmy Noether (1882-1935), mathématicienne allemande

______
Histoire des graphes et des chaînes de Markov

Le courrier, les camions et les maths : pourquoi la théorie des graphes ? - Podcast

Andreï Andreïevitch Markov

Euler Leonhard

Calcul matriciel

______
Cours

Définitions et vocabulaire

______
Matrice et dimension

Qu'est-ce qu'une matrice ?

Matrice de taille m x n

Dimension de matrices - Exemples

______
Matrices particulières importantes

Quelques matrices particulières en fonction de leur taille

Quelques matrices particulières en fonction de leur contenu

Transposée de matrice et matrice symétrique

D'autres matrices particulières en fonction de leur contenu

Égalité de matrices

Égalité de deux matrices

Ces matrices sont-elles égales ? - Exemples

Additionner et multiplier des matrices

______
Additionner des matrices

Comment additionner des matrices ?

Addition de deux matrices et opposée - Exemples

______
Multiplier une matrice par un réel

Multiplication de matrice par un réel k (scalaire)

Multiplication d'une matrice par un réel - Exemples

______
Multiplier des matrices

Multiplication de matrices

Propriétés de la multiplication des matrices

✎ Calculer le produit de deux matrices - Méthode

☝ Et les identités remarquables ? - Remarque

Des matrices inversibles... ou pas !

Qu'est-ce qu'une matrice carrée inversible ?

Une conséquence perturbante de la non-inversibilité de certaines matrices non nulles

Matrice carrée inversible de taille 2 x 2

Matrices de taille 2x2 inversibles ou non - Exemples

Généralisations aux matrices carrées de taille n x n

Inverses de matrices - Propriétés

Inverse d'une matrice diagonale

Résoudre un système linéaire avec des matrices

Écrire un système de n équations linéaires à n inconnues sous forme matricielle

Système de 3 équations linéaires à 3 inconnues - Exemple

Résoudre un système de n équations linéaires à n inconnues

☝ Les cas où la résolution du système AX = B est immédiate - Remarque

Puissances de matrices

Puissances de matrices carrées : application au calcul de la matrice inverse si elle existe

Puissances d'une matrice diagonale

Puissance d'une matrice diagonale - Exemples

☆ Vers le supérieur

☆ Matrice carrée diagonalisable

☆ Application de la diagonalisation - Calcul d'une puissance

☆ Résoudre un système linéaire comportant un très grand nombre d'équations et d'inconnues

☆ Lien entre les matrices et les nombres complexes

☆ Matrices et géométrie

______
Exercices

Exercices d'application

Dimensions de matrices - Matrices particulières

Reconnaître des matrices particulières

Dimensions de matrices - Transposées

Égalités de matrices

Additionner des matrices, multiplier des matrices par des nombres réels

Multiplier des matrices (1)

Multiplier des matrices (2)

Multiplier des matrices (3)

Reconnaître une matrice inversible 2 x 2 - Déterminants

______

Corrigés

Dimensions de matrices - Matrices particulières - Corrigé

Reconnaître des matrices particulières - Corrigé

Dimensions de matrices - Transposées - Corrigé

Égalités de matrices - Corrigé

Additionner des matrices, multiplier des matrices par des nombres réels - Corrigé

Multiplier des matrices (1) - Corrigé

Multiplier des matrices (2) - Corrigé

Multiplier des matrices (3) - Corrigé

Reconnaître une matrice inversible 2 x 2 - Déterminant - Corrigé

Exercices d'entraînement

______
Calcul matriciel

✔ Vrai ou faux ?

Distributivité à droite

Distributivité à gauche

Et les identités remarquables ?

Calculer le déterminant d'une matrice 3 x 3

Propriétés des inverses de matrices

Calculer un inverse de matrice avec des puissances

______
Application aux systèmes

Systèmes (1)

Systèmes (2)

Systèmes en lignes ou en colonnes

Systèmes : plus d'équations que d'inconnues

Systèmes : plus d'inconnues que d'équations

______
Exercices de synthèse

Système - D'après bac S, 2015, Amérique du Nord

Système - D'après bac ES, spé maths, Polynésie 2017

______

Corrigés

______
Calcul matricielle

✔ Vrai ou faux ? - Corrigé

Distributivité à droite - Corrigé

Distributivité à gauche - Corrigé

Et les identités remarquables ? - Corrigé

Calculer le déterminant d'une matrice 3 x 3 - Corrigé

Propriétés des inverses de matrices - Corrigé

Calculer un inverse de matrice avec des puissances - Corrigé

______
Application aux systèmes

Systèmes (1) - Corrigé

Systèmes (2) - Corrigé

Systèmes en lignes ou en colonnes - Corrigé

Systèmes : plus d'équations que d'inconnues - Corrigé

Systèmes : plus d'inconnues que d'équations - Corrigé

______
Exercices de synthèse

Système - D'après bac S, 2015, Amérique du Nord - Corrigé

Système - D'après bac ES, spé maths, Polynésie, 2017 - Corrigé

☆ Exercices vers le supérieur

Matrices rectangulaires inversibles ?

Résoudre un système avec la méthode LU

Calculer des puissances d'une matrice

Des matrices et des congruences...

______

Corrigés

Matrices rectangulaires inversibles ? - Corrigé

Résoudre un système avec la méthode LU - Corrigé

Calculer des puissances d'une matrice - Corrigé

Des matrices et des congruences... - Corrigé

Les graphes

Ce que disent les programmes officiels : graphes

Liens avec le programme de NSI

Bibliographie

______
Cours

Définitions

Introduction

Sommets, arêtes, arcs, ordre

Degré d'un sommet, sommet isolé, sommets adjacents

Graphe simple

Graphe complet

Parcours dans un graphe

Graphe connexe et composantes connexes

Chaîne, chemin, cycle

Chaîne et chemin - Exemples

Cycles - Exemples

Théorème d'Euler, chaîne eulérienne et cycle eulérien

Graphe avec une chaîne eulérienne - Exemple

Graphe avec un cycle eulérien - Exemple

Graphes et matrices - Comptage de chaînes

Matrice d'adjacence

Matrice d'adjacence - Méthode

Comptage de chaînes

☆ Comptage de chaînes : preuve de la propriété - Vers le supérieur

Comptage de chaînes (graphe non orienté) - Exemple

Comptage de chemins (graphe orienté) - Exemple

Distance entre deux sommets

Distances entre deux sommets - Exemple

Problème de recherche du plus court chemin (en lien avec le programme de SNT de 2nde)

Graphe pondéré

Problèmes de plus court chemin : l'algorithme de Dijkstra

☆ Vers le supérieur

En gestion de projet : recherche du chemin critique

Utiliser des graphes en ordonnancement et gestion de projets

What is the difference between Gantt and Pert chart?

Utilisation de matrices d’incidence pour les graphes orientés

Matrice d'incidence pour la loi de Kirchhoff des courants - Exemple du pont de Wheatstone

Le problème du voyageur de commerce

______
Exercices

Exercices d'entraînement

______
Définitions et exemples

Chercher l'intrus

Redessiner un graphe sans que les arêtes se coupent

Une question de numérotation...

______
Parcours dans un graphe - Théorème d'Euler

Parcours dans un graphe (1)

Parcours dans un graphe (2)

Parcours dans un graphe (3)

______
Graphes et matrices - Comptage de chaînes

Matrice d'adjacence - Comptage de chaînes (3)

Matrice d'adjacence - Comptage de chaîne (4)

Un réseau professionnel (1)

Un réseau professionnel (2)

Des graphes identiques... ou pas ?

______

Corrigés

______
Définitions et exemples

Chercher l'intrus - Corrigé

Redessiner un graphe sans que les arêtes se coupent - Corrigé

Une question de numérotation... - Corrigé

______
Parcours dans un graphe - Théorème d'Euler

Parcours dans un graphe (1) - Corrigé

Parcours dans un graphe (2) - Corrigé

Parcours dans un graphe (3) - Corrigé

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Graphes et matrices - Comptage de chaînes

Matrice d'adjacence - Comptage de chaînes (3) - Corrigé

Matrice d'adjacence - Comptage de chaîne (4) - Corrigé

Un réseau professionnel (1) - Corrigé

Un réseau professionnel (2) - Corrigé

Des graphes identiques... ou pas ? - Corrigé

☆ Exercices vers le supérieur

Construire un graphe non orienté avec des consignes

Construire un graphe k-régulier

Coloration d'un graphe (d'après BAC ES, métropole 2003)

L'automate (d'après BAC ES, Amérique du Nord 2019)

Livré à domicile ! (d'après BAC ES, Liban 2019)

Livré à domicile ! (d'après BAC ES, Liban 2019) - Remarques

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Corrigés

Construire un graphe non orienté avec des consignes - Corrigé

Construire un graphe k-régulier - Corrigé

Coloration d'un graphe (d'après BAC ES, métropole 2003) - Corrigé

L'automate (D'après BAC ES, Amérique du Nord 2019) - Corrigé

Livré à domicile ! (d'après BAC ES, Liban 2019) - Corrigé

Suites de matrices et chaînes de Markov

☆ Les processus décisionnels de Markov - Vidéo

Ce que disent les programmes : les chaînes de Markov

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Cours

Suites de matrices

☝ Étudier une suite de matrices - Remarque

Suites géométriques de matrices colonnes

Suites arithmético-géométriques de matrices colonnes

Suites géométriques de matrices lignes

Suites arithmético-géométriques de matrices lignes

Graphes probabilistes et matrices de transition

Graphes probabilistes

Matrice de transition d'un graphe probabiliste

☝ Matrices stochastiques selon les lignes ou les colonnes - Remarque

☝ Matrices stochastiques de taille 2 - Remarque

Chaînes de Markov

Définition d'une chaîne de Markov avec un nombre fini d'états

Chaîne de Markov à deux états - Exemple du centre de loisirs

Évolution d'une chaîne de Markov à n états

Étude asymptotique d'une chaîne de Markov à deux ou trois états

Distribution invariante d'une chaîne de Markov à n états

Étude asymptotique d'une chaîne de Markov à n états

Étude asymptotique d'une chaîne de Markov à 2 états - Exemple du centre de loisirs

Preuve par le calcul de l'existence d'une unique distribution invariante dans le cas d'une chaîne de Markov à 2 états qui évolue

Étude asymptotique d'une chaîne de Markov à 2 états : une vision géométrique

Preuve géométrique de l'existence et de l'unicité d'une distribution invariante pour une chaîne de Markov à 3 états s'il n'y a aucun zéro dans la matrice de transition

☆ Vers le supérieur

Le modèle des urnes d'Ehrenfest

Distribution invariante du modèle des urnes d'Ehrenfest - Lien avec les statistiques

Simulation du modèle d'Ehrenfest

Simulation du modèle d'Ehrenfest - Fichier à télécharger

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Exercices

Suites de matrices

Suite de matrices (1)

Suite de matrices (2)

Suite de matrices (3)

Suite géométrique de matrices colonnes (1)

Suite géométrique de matrices colonnes (2)

Étudier des suites réelles liées entre elles par une relation linéaire avec les matrices (1)

Étudier des suites réelles liées entre elles par une relation linéaire avec les matrices (2)

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Corrigés

Suite de matrices (1) - Corrigé

Suite de matrices (2) - Corrigé

Suite de matrices (3) - Corrigé

Suite géométrique de matrices colonnes (1) - Corrigé

Suite géométrique de matrices colonnes (2) - Corrigé

Étudier des suites réelles liées entre elles par une relation linéaire avec les matrices (1) - Corrigé

Étudier des suites réelles liées entre elles par une relation linéaire avec les matrices (2) - Corrigé

Graphes probabilistes et matrices de transition

✔ Vrai ou faux ? Graphe probabiliste

Représenter une situation sous forme de graphe probabiliste

Reconnaître une matrice stochastique (1)

Reconnaître une matrice stochastique (2)

Reconnaître une matrice stochastique (3)

Compléter une matrice stochastique et associer le graphe probabiliste correspondant

Graphe probabiliste ou pas ? (1)

Graphe probabiliste ou pas ? (2)

Matrices stochastiques en lignes et en colonnes

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Corrigés

✔ Vrai ou faux ? Graphe probabiliste - Corrigé

Représenter une situation sous forme de graphe probabiliste - Corrigé

Reconnaître une matrice stochastique (1) - Corrigé

Reconnaître une matrice stochastique (2) - Corrigé

Reconnaître une matrice stochastique (3) - Corrigé

Compléter une matrice stochastique et associer le graphe probabiliste correspondant - Corrigé

Graphe probabiliste ou pas ? (1) - Corrigé

Graphe probabiliste ou pas ? (2) - Corrigé

Matrices stochastiques en lignes et en colonnes - Corrigé

Chaînes de Markov

✔ Vrai ou faux ? Matrice de transition inversible

Chifoumi

Chaîne de Markov à deux états

Mise en confiance ou effet du stress

Streaming

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Corrigés

✔ Vrai ou faux ? Matrice de transition inversible - Corrigé

Chifoumi - Corrigé

Chaîne de Markov à deux états - Corrigé

Mise en confiance ou effet du stress - Corrigé

Streaming - Corrigé

Étude asymptotique d'une chaîne de Markov

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Corrigés

Chifoumi, suite - Corrigé

Une permutation - Corrigé

Carte jeune - Corrigé

Streaming - Variante - Corrigé

Algorithme PageRank - Corrigé

☆ Vers le supérieur

Urne d'Ehrenfest - avec N = 2

Urne d'Ehrenfest - avec N quelconque

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Corrigés

Urne d'Ehrenfest - avec N = 2 - Corrigé

Urne d'Ehrenfest - avec N quelconque - Corrigé