Espérance d'une variable aléatoire

Définition 

Soit une variable aléatoire \(X\) sur un univers \(\Omega\) et soit \(X(\Omega)=\{x_1;x_2;...;x_n\}\) l'ensemble des valeurs prises par `X`.
On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire \(X\) le réel :

\(\boxed{E(X)=x_1 P(X=x_1)+x_2 P(X=x_2)+...+x_n P(X=x_n)}\)
 
Exemple

Soit la variable aléatoire `X` de loi de probabilité représentée par le tableau suivant :

On a alors \(E(X)=-10\times\dfrac{1}{6}+(-2)\times\dfrac{1}{3}+4\times\dfrac{1}{2}\), c'est-à-dire `E(X)=-1/3`. 

Remarque

Le mot « espérance » provient du langage des jeux. En effet, dans le cas où la variable aléatoire `X` désigne le gain, `E(X)` est alors le gain moyen qu'on peut espérer si on joue un très grand nombre de parties. En particulier :

• si \(E(X)>0\), alors le jeu est favorable ;
  
• si \(E(X)=0\), alors le jeu est équitable ;
  
• si \(E(X)<0\), alors le jeu est défavorable.
  

Propriété

Lorsqu'on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire associée à la variable aléatoire `X`, la moyenne des valeurs prises par `X` s'approche de l'espérance de la variable aléatoire `X`.