Probabilité d'une intersection d'événements

Propriété

Pour tous événements  \(\text A\)  et  \(\text B\) de probabilité non nulle, \(P(\text A \cap \text B) = P_\text A(\text B) \times P(\text A) = P_\text B(\text A) \times P(\text B)\) .

Démonstration

Le résultat est immédiat à partir de la définition de \(P_\text A(\text B)\) ou \(P_B(A)\) et en isolant le terme \(P(\text A\cap \text B)\) .

Exemples
1. Si  \(P(\text B) = \dfrac{2}{3}\)  et  \(P_\text B(\text A ) = \dfrac{3}{4}\) , alors    \(P(\text A \cap\text B) =P_\text B(\text A) \times P(\text B) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2}\) .
2. Si  \(P(\text A) = 0,5\) ,  \(P(\text B) = 0,4\) et  \(P(\text A \cap \text B ) = 0,1\) , alors  \(P_\text A (\text B) = \dfrac{P(\text A \cap \text B)}{P(\text A)} = \dfrac{0,1}{0,5} = 0,2\)  et  \(P_\text B (\text A) = \dfrac{P(\text B \cap \text A)}{P(\text B)} = \dfrac{0,1}{0,4} = 0,25\) . 
3. Si  \(P(\text C) = 0,46\) ,  \(P(\text D ) = 0,96\)  et \(P_\text C(\text D) = 0,2\) , alors  \(P(\text C \cap \text D) = P_\text C(\text D) \times P(\text C) = 0,2 \times 0,46 = 0,092\)  et  \(P_\text D(\text C) = \dfrac{ P(\text C \cap \text D)}{P(\text D)} = \dfrac{0,092} {0,96} \approx 0,096\) .