Probabilité conditionnelle

On se place dans un univers  \(\Omega\) fini muni d'une probabilité  \(P\) .

Définition

Soit \(\text A\) un événement de  \(\Omega\)  de probabilité non nulle.
Pour tout événement \(\text B\) de \(\Omega\) , on définit la probabilité que l'événement  \(\) \(\text B\) se réalise sachant que l'événement  \(\text A\) est réalisé, et on l'appelle probabilité conditionnelle de \(\text B\) sachant \(\text A\) , le réel \(\boxed{P_\text A (\text B) = \dfrac{P(\text A \cap \text B)}{P(\text A)}}\) .

Exemples
1. Si  \(P(\text A) = 0,5\)  et  \(P(\text A \cap \text B ) = 0,1\) , alors  \(P_\text A (\text B) = \dfrac{P(\text A \cap \text B)}{P(\text A)} = \dfrac{0,1}{0,5} = 0,2\) .
2. Si  \(P(\text A) = \dfrac{2}{3}\)  et  \(P(\text A \cap \text B ) = \dfrac{1}{4}\) , alors  \(P_\text A (\text B) = \dfrac{P(\text A \cap \text B)}{P(\text A)} = \dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{8}\) .
3. Si  \(P(\text C) = 0,46\)  et  \(P(\text C \cap \text D ) = 0,23\) , alors  \(P_\text C (\text D) = \dfrac{P(\text C \cap \text D)}{P(\text C)} = \dfrac{0,23}{0,46} = 0,5\) .