Formule des probabilités totales

Théorème

Soit \(\text A\) un événement de probabilité non nulle d'un univers `\Omega` .
Pour tout événement \(\text B\) de `\Omega` , on a la formule des probabilités totales : \(P(\text B)=P(\text A\cap \text B)+P(\overline{\text A}\cap \text B)=P(\text A)\times P_\text A(\text B)+P(\overline{ \text A})\times P_\overline {\text A}(\text B)\) .

Démonstration

On a \(\text B=(\text A\cap\text B)\cup(\overline{\text A}\cap\text B)\) comme illustré dans la figure suivante. La même figure permet de se rendre compte que, comme \(\text A\) et \(\overline{\text A}\) forment une partition de l'univers, \((\text B\cap \text A)\cap(\text B\cap\overline{ \text A})=\emptyset\) soit  \(\text (B\cap\text A)\) et \((\text B\cap\overline{\text A})\)  sont incompatibles.

On en déduit \(P(\text B)=P(\text A\cap\text B)+P(\text A\cap\overline{\text B})\) et, en utilisant la définition de probabilité conditionnelle, \(P(\text B)=P(\text A)\times P_\text A(\text B)+P(\overline{\text A}) \times P_\overline{\text A}(\text B)\) .

Remarque

Ce théorème se généralise à une partition quelconque de l'univers. Soit   { \({\text A_1,\text A_2,...,\text A_n}\) } une partition de  \(\Omega\) à  \(n\) événements, tous de probabilité non nulle, alors, pour tout événement  \(\text{B}\) de      \(\Omega\) ,   \(P(\text B)=P(\text A_1)\times P_{\text A_1} (\text B)+P({\text A_2 }) \times P_{\text A_2}(\text B)+...+P(\text A_n)\times P_{\text A_n}(\text B)\) .