Méthode d'Archimède

Énoncé

Dans ses travaux, Archimède de Syracuse propose une méthode d'approximation du nombre $\pi$ . Il considère les suites de polygones réguliers inscrits et circonscrits dans un cercle de rayon  $1$ et il en calcule les demi-périmètres. Pour un nombre de côtés fixés $n$ , il encadre ainsi le nombre  $\pi$ : 
demi-périmètre du polygone inscrit $<\pi <$ demi-périmètre du polygone circonscrit.

 Archimède traite exclusivement les cas des polygones réguliers à  $n=3\times 2^m$ côtés,  $m$ étant un entier naturel. Pour  $m=5$ (c'est-à-dire en considérant les polygones réguliers à 96 côtés), on obtient le célèbre encadrement  ${\displaystyle \frac{223}{71}}<\pi <{\displaystyle \frac{22}{7}}$ . 
Dans cette activité, nous allons tenter de retrouver cet encadrement à l'aide de la trigonométrie (qu'Archimède ne connaissait pas !).

Questions

Partie A - Observation de la méthode

Ce fichier de géométrie dynamique montre la suite des polygones réguliers inscrits dans un cercle de rayon $1$ et affiche le demi-périmètre pour chaque polygone. En faisant bouger le curseur $n$ correspondant au nombre de côtés du polygone régulier inscrit, observer la suite des demi-périmètre.

Expliquer pourquoi les demi-périmètres s'approchent de plus en plus du nombre $\pi$ . Qu'en serait-il si le rayon était égal à $2$ ? Et pour un rayon $r$ ?

Partie B - Le cas des hexagones

Soit $\text{ABCDEF}$ et $\text{A'B'C'D'E'F'}$ les hexagones respectivement inscrit et circonscrit à un cercle de centre  $\text{O}$ et de rayon $1$ de sorte que les points $\text{O, A, A'}$ sont alignés (et par conséquent tous les autres triplets correspondants aussi) comme illustré dans la figure suivante. La perpendiculaire à $(\text{AB})$ passant par $\text{O}$ coupe $\text{[AB]}$ en $\text{I}$ et   $\text{[A'B']}$ en ${\text{I}}^{\prime }$ .

Partie C - Cas général

Soit  $n$ , avec $n⩾3$ , le nombre de côtés des polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle de centre $\text{O}$ et rayon $1.$ De manière analogue au cas des hexagones, on considère les triangles isocèles $\text{AOB}$ et   $\text{A'OB'}$ .
1. Expliquer pourquoi la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{IOA}}$ s'exprime, en fonction de  $n$ , par $\alpha (n)={\displaystyle \frac{180°}{n}}$ .
2. En déduire $\text{AB}=2\text{sin}(\alpha (n))$ puis $\text{A'B'}=2{\displaystyle \frac{\text{sin}(\alpha (n))}{\text{cos}(\alpha (n))}}$ .
3. À l'aide d'un tableur, retrouver l'encadrement d'Archimède du nombre  $\pi$ . Les fractions pourront être approchées par des nombres décimaux.