Méthode d'Euler

L'objectif de cette activité est de construire, de façon approchée, la courbe représentative de la fonction exponentielle $f$ , définie et dérivable sur  $\mathbb{R}$ , telle que  $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)=f(x)\text{pour tout}x\in \mathbb{R}\\ f(0)=1\end{array}$ . 

La méthode mise au point par Leonhard Euler (1707-1783) que nous allons utiliser permet de déterminer une suite de points proches de ceux appartenant à la courbe. Nous allons ainsi obtenir une approximation de l'allure de la courbe cherchée.

Méthode  

1. On se place dans un repère et on considère le point  $\text{M}$ de coordonnées  $(0;1)$ . Il appartient, par définition, à la courbe représentative de la fonction  $f$ .

2. On détermine une équation de la tangente à la   courbe représentative de  $f$ au point  $\text{M}$ .

3. On considère le point $\text{N}$ , appartenant à la tangente, et dont l'abscisse est  $x_M+h$ ,  $h$ étant un réel non nul choisi arbitrairement. On calcule l'ordonnée de  $\text{N}$ .

4. On réitère l'algorithme de construction à partir du point  $\text{N}$ et on construit d'autres points.

Ce fichier de géométrie dynamique permet de visualiser les différentes étapes de construction en déplaçant le curseur « étape ». Vous pouvez choisir différentes valeurs de $h$ aussi bien positives que négatives et observer l'effet sur l'approximation des points appartenant à la courbe de la fonction exponentielle. Vous pouvez à tout moment la visualiser en cochant la case « Visualiser la courbe de la fonction exponentielle ».

Calcul des coordonnées des points par la méthode d'Euler

1. Coordonnées du point  $\text{N}$
    a. Rappeler l'abscisse du point   $\text{N}$  en fonction de $h$ . 
    b. Montrer que l'équation de la tangente    $T_{\text{M}}$  à la   courbe représentative de  $f$  au point  $\text{M}$  est :  $y=x+1$ . 
    c. En déduire l'ordonnée de   $\text{N}$ .

2. Coordonnées des points approchant la courbe représentative de la fonction exponentielle
Soit $(x_n)$ la suite des abscisses des points que l'on cherche définie par $\{\begin{array}{l}{x}_0=0\\ \text{Pour tout }n\in \mathbb{N},x_{n+1}=x_n+h\end{array}$
Soit $(y_n)$  la suite des ordonnées des points que l'on cherche définie par     $\{\begin{array}{l}{y}_0=1\\ \text{Pour tout }n\in \mathbb{N},y_{n+1}=(1+h)y_n\end{array}$ . 
Soit $h=0,1$ . 
    a. Élaborer une feuille de calcul pour calculer les coordonnées des points à construire comme montré dans la figure suivante.

    b. Quelle formule entrer dans la cellule C3 puis recopier vers la droite pour obtenir la ligne 3 ?
    c. Afficher le nuage des points de coordonnées $(x_n;y_n)$ .
    d. Modifier la valeur de $h$ et observer le nuage de points correspondant. Expliquer ce qui se passe lorsque $h$ est négatif.