Loi de refroidissement de Newton

La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d’évolution de la température d’un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant. 
Une tasse de café est servie à une température initiale de $80$ °C dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée $T$ . 
Le but de cet exercice est d’étudier un cas particulier du refroidissement du café en appliquant la loi de Newton. 

Pour tout réel $t$  positif ou nul, on note $\theta \left(t\right)$  la température du café à l’instant $t$ , avec  $\theta \left(t\right)$  exprimé en degré Celsius et $t$  en minute. 
Dans ce modèle, on suppose que $\theta$  est une fonction dérivable sur l’intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$  et que, pour tout réel $t$  de cet intervalle, la loi de Newton se modélise par :  $\theta \prime (t)=-0,2(\theta (t)-T)$ . 

Remarque
On note également ${\displaystyle \frac{d\theta }{dt}}=-0,2(\theta (t)-T)$  notamment en sciences expérimentales.

Dans cet exercice, on se restreint au cas particulier où  $T=0$ .

1. D'après l'énoncé, que vaut  $\theta \left(0\right)$  ?

On cherche une fonction $\theta$  dérivable sur l’intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$  vérifiant la condition initiale trouvée dans la question 1. et, pour tout réel $t$  de cet intervalle :  ${\theta }^{\prime }(t)=-0,2\theta (t)$ .

2. Soit $\theta$ une telle fonction. On définit, pour tout $t$  de l’intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$ , la fonction  $f$ par $f(t)={\displaystyle \frac{\theta \left(t\right)}{e^{-0,2t}}}$  . Montrer que la fonction $f$  est dérivable sur $[0;+\mathrm{\infty }[$  et que, pour tout réel $t$  de cet intervalle,  $f^{\prime }(t)=0$ .

3. En conservant l’hypothèse de la question précédente, calculer $f(0)$ . En déduire, pour tout $t$  de l’intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$  , une expression de $f(t)$ , puis de  $\theta (t)$ . 

4. Vérifier que la fonction $\theta$  trouvée à la question 3. est solution du problème.

Sujet adapté du baccalauréat Asie juin 2019