Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Propriété Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit  $X$  une variable aléatoire définie sur un univers fini  $\mathrm{\Omega }$ .
Alors, pour tout réel  $\delta$  strictement positif, on a $P(|X-E(X)|⩾\delta )⩽{\displaystyle \frac{V(X)}{{\delta }^2}}$ .

Remarque

Cette inégalité  illustre  le fait que la variance permet de mesurer l'écart d'une variable aléatoire par rapport à son espérance.

Exemple 1

Soit  $X$  une variable aléatoire d'espérance 10 et de variance 1.
D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a $P(|X-10|⩾4)⩽{\displaystyle \frac{1}{4^2}}$   (en prenant  $\delta =4$ ), ce qui peut également s'écrire  $P(X\notin ]6;14[)⩽{\displaystyle \frac{1}{16}}$ . 
En passant au complémentaire, on a alors  $P(X\in ]6;14[)⩾{\displaystyle \frac{15}{16}}$ .

Exemple 2

On lance 180 fois un dé équilibré à 6 faces, numérotées de 1 à 6.
On appelle  $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de 1 obtenus.
$X$ suit une loi binomiale de paramètres  $n=180$  et  $p={\displaystyle \frac{1}{6}}$ .
Ainsi,  $E(X)=180\times {\displaystyle \frac{1}{6}}=30$  et  $V(X)=180\times {\displaystyle \frac{1}{6}}\times (1-{\displaystyle \frac{1}{6}})=25$ .

L'espérance s'interprète comme une moyenne si l'on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire. Ainsi, si on lance 180 fois un dé, on s'attend en moyenne à obtenir 30 fois le numéro 1.

Seulement, tout ceci n'est qu'une moyenne, et il est rare de tomber exactement 30 fois sur la face numéro 6. Ce que l'on peut affirmer toutefois, c'est qu'il y a une grande probabilité que le nombre de fois que nous obtenons ce numéro 1 soit proche de 30, et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev peut nous fournir une minoration de cette probabilité.

On souhaite par exemple minorer la probabilité que  $X$ soit compris entre 21 et 39. 
Or,  $X\in [21;39]\iff X\in [30-9;30+9]\iff |X-30|⩽9$ .
Puisque la variable aléatoire  $X$  prend uniquement des valeurs entières, ceci est équivalent à  $|X-30|<10$ .

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a  $P(|X-E(X)|⩾10)⩽{\displaystyle \frac{V(X)}{{10}^2}}={\displaystyle \frac{25}{100}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ .
Ainsi, puisque  $P(|X-E(X)|<10)+P(|X-E(X)|⩾10)=1$ , on a que  $P(|X-E(X)|<10)=1-P(|X-E(X)|⩾10)$   et donc  $P(|X-E(X)|<10)⩾{\displaystyle \frac{3}{4}}$ .

Si l'on lance 180 dés, la probabilité d'obtenir entre 21 et 39 fois le  numéro 1 est supérieure à 0,75.

Remarque

Cette borne n'est pas optimale. En l'occurrence, en réalisant les calculs avec un tableau par exemple, on s'aperçoit que $P(|X-E(X)|<10)\simeq 0,9434$ .