Volume d'un tétraèdre - Métropole, mars 2023

On considère le cube $\mathrm{ABCDEFGH}$ d'arête $1$ .
On appelle $\text{I}$ le point d'intersection du plan $(\mathrm{GBD})$ avec la droite $(\mathrm{EC})$ .
L'espace est rapporté au repère orthonormé $(\text{A};\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}})$ .

1. Donner dans ce repère les coordonnées des points $\text{E}$ , $\text{C}$ , $\text{G}$ .

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\mathrm{EC})$ .

3. Démontrer que la droite  $(\mathrm{EC})$ est orthogonale au plan $(\mathrm{GBD})$ .

4. a. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(\mathrm{GBD})$ est  $x+y-z-1=0$ .
    b. Montrer que le point $\text{I}$ a pour coordonnées  $({\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{1}{3}})$ .
    c. En déduire que la distance du point $\text{E}$ au plan  $(\mathrm{GBD})$ est égale à  ${\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$ .

5. a. Démontrer que le triangle $\mathrm{BDG}$ est équilatéral.
    b. Calculer l’aire du triangle $\mathrm{BDG}$ . On pourra utiliser le point $\text{J}$ , milieu du segment $[\mathrm{BD}]$ .

6. Justifier que le volume du tétraèdre $\mathrm{EGBD}$ est égal à  ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ .
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V={\displaystyle \frac{1}{3}}Bh$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.