Distance d'un point à un plan

Propriété

On se place dans un repère orthonormé  $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ . 
Soit $P$ un plan d'équation cartésienne  $ax+by+cz+d=0$ et  $\text{A}(x_{\text{A}};y_{\text{A}};z_{\text{A}})$  un point n'appartenant pas au plan $P$ . Alors la distance entre le point $\text{A}$ et le plan $P$ est donnée par : $$ $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{|a{x}_{\text{A}}+b{y}_{\text{A}}+c{z}_{\text{A}}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}}}$ .

Démonstration

On cherche à exprimer la distance $\text{A}\text{H}$ , où $\text{H}(x;y;z)$ est le projeté orthogonal de $\text{A}$ sur $P$ .

$\text{H}(x;y;z)\in P$  donc ses coordonnées vérifient la relation  $ax+by+cz+d=0$ .

$P$  a pour vecteur norm al  $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ .
Or  $\overrightarrow{\text{A}\text{H}}\left(\begin{array}{c}x-x_{\text{A}}\\ y-y_{\text{A}}\\ z-z_{\text{A}}\end{array}\right)$  est colinéaire à  $\overrightarrow{n}$ .

Donc  $\overrightarrow{\text{A}\text{H}}\cdot \overrightarrow{n}=\pm \text{A}\text{H}\times ||\overrightarrow{n}||$ . Autrement dit,  $\text{A}\text{H}\times ||\overrightarrow{n}||=|\overrightarrow{\text{A}\text{H}}\cdot \overrightarrow{n}|$     (*).

Or  $|\overrightarrow{\text{A}\text{H}}\cdot \overrightarrow{n}|=|a(x-x_{\text{A}})+b(y-y_{\text{A}})+c(z-z_{\text{A}})|=|ax+by+cz-a{x}_{\text{A}}-b{y}_{\text{A}}-c{z}_{\text{A}}|$ .
D'où  $|\overrightarrow{\text{A}\text{H}}\cdot \overrightarrow{n}|=|-a{x}_{\text{A}}-b{y}_{\text{A}}-c{z}_{\text{A}}-d|=|a{x}_{\text{A}}+b{y}_{\text{A}}+c{z}_{\text{A}}+d|$  
car $ax+by+cz=-d$ .   (**)

Enfin,  $||\overrightarrow{n}||=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ . 

Donc, en utilisant (*) et (**), on a :  $\text{A}\text{H}\times \sqrt{a^2+b^2+c^2}=|a{x}_{\text{A}}+b{y}_{\text{A}}+c{z}_{\text{A}}+d|$ .

Comme  $\overrightarrow{n}$  est non nul, alors sa norme n'est pas nulle non plus, on peut donc diviser par celle-ci. D'où le résultat :  $\text{A}\text{H}={\displaystyle \frac{|a{x}_{\text{A}}+b{y}_{\text{A}}+c{z}_{\text{A}}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$ .

Exemple
On se place dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ . Soit $P$ un plan d'équation cartésienne  $x+3y+4z-8=0$ . Soit  $\text{A}(1;2;3)$  un point.

Alors on a :  $\text{A}\text{H}={\displaystyle \frac{|1+3\times 2+4\times 3-8|}{\sqrt{1^2+3^2+4^2}}}={\displaystyle \frac{11}{\sqrt{26}}}={\displaystyle \frac{11}{26}}\sqrt{26}$ . 

Remarque

On peut redémontrer ce résultat en calculant la norme du vecteur  $\overrightarrow{\text{A}\text{H}}$ , où $\text{H}$ est le projeté orthogonal de $\text{A}$ sur $P$ .
On démontre que  $\text{H}$ a pour coordonnées :  $\text{H}({\displaystyle \frac{15}{26}};{\displaystyle \frac{19}{26}};{\displaystyle \frac{17}{13}})$ . 
Alor s  $\overrightarrow{\text{A}\text{H}}\left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{11}{26}}\\ -{\displaystyle \frac{33}{26}}\\ -{\displaystyle \frac{22}{13}}\end{array}\right)$ .
D'où  $\text{A}\text{H}=\sqrt{{(-{\displaystyle \frac{11}{26}})}^2+{(-{\displaystyle \frac{33}{26}})}^2+{(-{\displaystyle \frac{22}{13}})}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{121}{26}}}={\displaystyle \frac{11}{\sqrt{26}}}={\displaystyle \frac{11}{26}}\sqrt{26}$ .