Translation et vecteurs de l'espace

Définition

Soit $\text{A}$ et $\text{B}$ deux points de l'espace. La transformation qui à tout point $\text{C}$ de l'espace associe le point $\text{D}$ de l'espace tel que $\text{A}\text{B}\text{D}\text{C}$ est un parallélogramme (éventuellement aplati) est la translation de vecteur  $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$ .

Propriété

Soit $\text{A}$ , $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points de l'espace. Soit $\text{D}$ l'image de $\text{C}$ par la translation de vecteur  $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$ .
Alors, les vecteurs  $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$  et  $\overrightarrow{\text{C}\text{D}}$  sont égaux. Les vecteurs   $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$ et  $\overrightarrow{\text{C}\text{D}}$   sont des représentants d'un même vecteur.

Remarques

Si  $\text{A}$ et  $\text{B}$ sont distincts, le vecteur  $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$  est caractérisé par :

• sa direction (celle de la droite $(\text{A}\text{B})$ ) ;
  
• son sens (de $\text{A}$ vers $\text{B}$ ) ;
  
• sa norme, notée  $||\overrightarrow{\text{A}\text{B}}||$ , qui est la longueur  $\text{A}\text{B}$ .
  

Si  $\text{A}$ et  $\text{B}$ sont confondus, le vecteur  $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$  est le vecteur nul. On le note $\overrightarrow{0}$ .

Propriété

Soit $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$  et  $\overrightarrow{\text{C}\text{D}}$ deux vecteurs de l'espace, différents du vecteur nul. Les vecteurs $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$  et  $\overrightarrow{\text{C}\text{D}}$ sont égaux si et seulement s'ils ont même direction, même sens et même longueur.

Propriété

Soit $\text{A}$ un point de l'espace et  $\overrightarrow{u}$ un vecteur de l'espace. Il existe un unique point $\text{M}$ de l'espace tel que $\overrightarrow{\text{A}\text{M}}=\overrightarrow{u}$ .