** Courbe de Lorenz et indice de Gini - Grand Oral

On appelle courbe de Lorenz une courbe représentative d'une fonction $f$  satisfaisant les conditions suivantes :

• $f$  est continue sur $[0;1]$  ;
• $f(0)=0$  et $f(1)=1$  ;
• $\mathrm{\forall }x\in [0;1],0⩽f(x)⩽x$ .
  

On utilise la courbe de Lorenz par exemple en SES pour illustrer les inégalités de revenus ou de patrimoine.

Courbe de Lorenz des revenus et du patrimoine en France (2018)

Lecture : $80$ % des ménages (en abscisses) possèdent $35$ % du patrimoine brut total (en ordonnées).

On appelle indice, ou coefficient, de Gini le nombre $\mathcal{G}$ défini de la façon suivante :  $\mathcal{G}={\displaystyle 1-2{\int }_0^{1}f(x)\text{d}x}$ .
$\mathcal{G}$ est un nombre compris entre $0$ et $1$  :  $0$  représente l'égalité parfaite ( le patrimoine total est équiréparti entre les ménages) et $1$ l'inégalité parfaite (un seul ménage détient l'ensemble du patrimoine total).
À titre d'exemple, l'indice de Gini est d'environ $0,25$  en Slovaquie, $0,30$  en France,  $0,40$  aux États Unis et $0,63$  en Afrique du Sud.

On considère que la répartition du patrimoine dans un pays donné est modélisée par la fonction  $f$ définie sur $[0;1]$  par  $f(x)={\displaystyle \frac{x^3+x}{2}}$ .

1. Vérifier que la courbe représentative de $f$  est une courbe de Lorenz.

2. Calculer l'indice de Gini de ce pays.