*** Ancien sujet de bac : Polynésie, septembre 2020

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par  $f(x)=x{\text{e}}^{-x^2+1}$ .
On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de  $f$  dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ .

1. a. Montrer que, pour tout $x$ réel, $f(x)={\displaystyle \frac{\text{e}}{x}}\times {\displaystyle \frac{x^2}{{\text{e}}^{x^2}}}$ .
    b. En déduire la limite de $f(x)$ lorsque  $x$ tend vers  $+\mathrm{\infty }$ .

2. Pour tout réel  $x$ , on considère les points $\text{M}$ et $\text{N}$ de la courbe   $(\mathcal{C})$ d'abscisses respectives  $x$ et $-x$ .
    a. Montrer que le point $\text{O}$ est le milieu du segment $[\mathrm{MN}]$ .
    b. Que peut-on en déduire pour la courbe  $(\mathcal{C})$ ?

3. Étudier les variations de la fonction  $f$ sur l'intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$ .

4. a. Montrer que l'équation $f(x)=0,5$ admet sur $[0;+\mathrm{\infty }[$  exactement deux solutions notées $\alpha$ et $\beta$ (avec $\alpha <\beta$ ).
    b. En déduire les solutions sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ de l'inéquation $f(x)⩾0,5$ .
    c. Donner une valeur approchée à  ${10}^{-2}$ près de $\alpha$ et $\beta$ .

5. Soit $A$ un réel strictement positif. On pose $I_A={\displaystyle {\int }_0^{A}f(x)\text{d}x}$ .
    a. Justifier que $I_A={\displaystyle \frac{1}{2}}(\text{e}-{\text{e}}^{-A^2+1})$ .
    b. Calculer la limite de $I_A$ lorsque $A$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ . On admet que cette limite est l'aire, en unité d'aire, située entre la partie de la courbe $(\mathcal{C})$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ et l'axe des abscisses.

6. Comme illustré sur le graphique ci-dessous, on s'intéresse à la partie grisée du plan qui est délimitée par :

• la courbe $(\mathcal{C})$ sur $\mathbb{R}$ et la courbe $({\mathcal{C}}^{\prime })$ symétrique de $(\mathcal{C})$ par rapport à l'axe des abscisses ;
• le cercle de centre $\mathrm{\Omega }({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}};0)$ et de rayon $0,5$ et son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

On admet que le disque de centre $\mathrm{\Omega }({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}};0)$ et de rayon $0,5$ et son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées sont situés entièrement entre la courbe   $(\mathcal{C})$   et la courbe   $({\mathcal{C}}^{\prime })$ . Déterminer une valeur approchée, en unités d'aire au centième près, de l'aire de cette partie grisée du plan.