Élimination d'un médicament

À l'instant  $t=0$  ( $t$  exprimé en heure), on injecte dans le sang 2 mg d'un médicament. Plusieurs injections sont nécessaires pour que le traitement soit efficace. Le corps élimine chaque heure $20\mathrm{\%}$   du médicament présent dans le sang. Le principe actif du médicament reste efficace tant qu'il reste au moins $10\mathrm{\%}$   de la quantité initiale.

On note $T_n$ le pourcentage de médicament présent à la  $n$ -ième heure à partir de l'injection. Ainsi  $T_0=100$ .

L'objectif de l'exercice est de déterminer l'heure à laquelle une seconde injection sera nécessaire.

1. Calculer $T_1$ et $T_2$ .
2. Quelle est la nature de la suite $(T_n)$ ?
3. On considère l'algorithme en Python suivant.

1           $\mathtt{\text{def seuil(a):}}$
2               $\mathtt{\text{n=0}}$
$$ 3              $\mathtt{\text{u=100}}$
4              $\mathtt{\text{while u>=a:}}$
5                   $\mathtt{\text{T=0.8*T}}$
6                   $\mathtt{\text{n=n+1}}$
7              $\mathtt{\text{return n}}$

    a. Que renvoie $\mathtt{\text{seuil(a)}}$  ?
    b. Proposer une valeur de $a$ pour laquelle cet algorithme ne pourra pas s'arrêter.
    c. Quelle valeur doit-on affecter à  $a$ pour répondre au problème ? La première injection ayant eu lieu à 11h00 du matin, à quelle heure faut-il prévoir la seconde ?