Utiliser et déterminer une relation de récurrence

1. Déterminer les six premiers termes de la suite géométrique définie par $u_0=5$ et telle que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}={\displaystyle \frac{2}{5}}{u}_n$ .

2. Déterminer l'expression du terme général des suites géométriques définies par les relations de récurrence suivantes.

    a. $u_{n+1}=0,4u_n$  et $u_0=5$ .

    b.  $u_{n+1}=5u_n$  et $u_0=2$ .

    c.  $u_{n+1}=7u_n$  et $u_4=5$ .

Solution

1. $u_0=5$

$u_1=\frac{2}{5}{u}_0=2$

$u_2=\frac{2}{5}{u}_1=\frac{4}{5}$

$u_3=\frac{2}{5}{u}_2=\frac{8}{5^2}=\frac{8}{25}$

$u_4=\frac{2}{5}{u}_3=\frac{16}{5^3}=\frac{16}{125}$

$u_5=\frac{2}{5}{u}_4=\frac{32}{5^4}=\frac{32}{625}$

2. a. $u_n=5\times 0,4^n$

    b.  $u_n=2\times 5^n$

    c.   $u_{n+1}=5\times 7^{n-4}={\displaystyle \frac{5}{7^4}}{7}^n={\displaystyle \frac{5}{2401}}{7}^n$